江苏省盐城市三校（盐城一中、亭湖高中、大丰中学）2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题
2022-2023 学年度高一年级第二学期期中联考
数学试题
本试卷分试题卷和答题卷两部分。试题卷包括 1至4页；答题卷 1至4页。满分
150 分。考试时间 120 分钟。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分：在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数 ，其中 是虚数单位， 是 的共轭复数，则 （▲）
A． B． C． D．
2. 已知向量 ， ， ．若 与 垂直，则实数 的值为（▲）
A． B． C． D．
3. 已知 ， ，则 的值为（▲）
A． B． C． D．
4. 如图，一个矩形边长为 2 和 4，绕它的长为 的边旋转一周后所得如图的一开口容器
（下表面密封）， 是 中点，现有一只妈蚁位于外壁 处，内壁 处
有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点 处取得米粒，则它所
需经过的最短路程为（▲）
A. B. C. D.
5. 已知
A
、
B
、
C
是平面上不共线的三点，
O
是△
ABC
的重心，点
P
满足
，则△ 与△ 面积比为（▲）
A．5:6 B．1:4 C．2:3 D．1:2
6. 《九章算术》涉及算术、代数、几何等诸多领域，书中有如下问题：“今有圆亭，下周
三丈，上周二丈，高二丈，问积几何？”其意思为：“有一个圆台，下底周长为 3 丈，上
底周长为 2 丈，高为 2 丈，那么该圆台的体积是多少？”已知 1 丈等于 10 尺，圆周率约为
3，估算出这个圆台体积约有（▲）
A． 立方尺 B． 立方尺 C． 立方尺 D． 立方尺
7. 已知△ 的内角 所对的边分别为 ，满足 ，则
的取值范围为（▲）
A． B． C． D．（ ， ）
8. 已知正方形 的边长为 ，现将△ 沿对角线 翻折，得到三棱锥 .
记 的中点分别为 ，则下列结论错误的是（▲）
A． 与平面 所成角的范围是 B．三棱锥 体积的最大值为
C． 与 所成角的范围是 D．三棱锥 的外接球的表面积为定值
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分．
9. 欧拉公式 是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义
域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的
地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（▲）
A. 对应的点位于第二象限 B. 为纯虚数
C. 的模长等于 D. 的共轭复数为
10. 已知 , 是两个不重合的平面， ， 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是
（▲）A．若 ， ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ，则
D．若 ， ，则 与 所成的角和 与 所成的角相等
11. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方
形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为 、 ，其中小正方形的面积为
4，大正方形面积为 9，则下列说法正确的是（▲）
A．每一个直角三角形的面积为 B．
C． D．
12.在长方体 中， ， ， ，动点 在平面 内且满
足 ，则（▲）
A．无论 ， 取何值，三棱锥 的体积为定值 30
B．当 时， 的最小值为
C．当 时，直线 与直线 恒为异面直线
D．当 时， 平面
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.化简 ▲ .
14. 已知△ 是等腰直角三角形， ， 是△ 外接圆上一
点，则 的取值范围是 ▲ .
15.山西应县木塔（如图 1）是世界上现存最古老、最高大的木塔，是中国古建筑中的瑰宝，
是世界木结构建筑的典范．如图 2，某校数学兴趣小组为测量木塔的高度，在木塔的附近
找到一建筑物 ，高为 米，塔顶 在地面上的射影为 ，在地面上再确定一点 （
， ， 三点共线），测得 约为 58 米，在点 处测得塔顶 的仰角分别为 30°和
60°，则该小组估算的木塔的高度为 ▲ 米．
16. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，球的半
径， ， 分别为圆柱上、下底面的圆心，
O
为球心， 为底面圆
的一条直径，若 为球面和圆柱侧面的交线上一动点，线段与
的和为 ，则 的取值范围为 ▲ .
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知 ．
（1）若 为锐角，求 的值；
（2）求
的
值．
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