江苏省苏州市八校联盟2022-2023高三下学期5月适应性检测三模数学试题【答案】

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第1页 共 5页
2023 届高三年级苏州八校三模适应性检测
数学试题评分参考 2023．5
一、选择题
1．B 2．C 3．D 4．C
5．A 6．D 7．B 8．A
二、选择题
9．AD 10．ACD 11．BCD 12．AD
三、填空题
13．
i
（或
i
）14．
3
( ,8)
2
15．
5
8
；
5
4
（第一空 2分，第二空 3分） 16．
16
5
四、解答题
17．解：（1）由题意知，
3
5
ABD
AED
S
AB BD
AE S DE
 
△
△
，
设
，所以
，在直角
ABE△
中，
4 8BE x 
，
所以
2x
，从而
3 6AB x 
；……………………5 分
（2）设
BAD DAE EAC    
，在直角
ABD△
中，
1
tan 2
，
在直角
ABE△
中，
4
tan 2 3
，进而可得
11
tan 3 2
，
在直角
ABC△
中，由
11
tan 3 2
BC
AB
 
，得
，所以
25EC
，
从而
AEC△
的面积为
175
2EC AB 
．……………………10 分
18．解：（1）设等差数列
{ }
n
a
的公差为
d
，由题意可知，
111
22
5 3 8 1 1 1
332
1
( 4 ) ( 2 )( 7 )
a d a d a
d
a a a a d a d a d
   
 
 
 
 
，所以
1
n
a n 
；…………5 分
（2）由（1）可知，
π( 1)π
cos ( 1) cos
2 2
n
n n
an
b a n
 
，
对于任意
*kN
，有
4 3 4 2
k
b k
-= - +
，
4 2 0
k
b-=
，
4 1 4
k
b k
-=
，
40
k
b=
，
所以
4 3 4 2 4 1 4 2
k k k k
b b b b
- - -
+ + + =
， …………9分
故数列
{ }
n
b
的前 2023 项和为
1 2 3 4 2021 2022 2023 2024 2024
( ) ( )b b b b b b b b b  
506 2 0 1012  
．…………12 分
第2页 共 5页
19．解：（1）由题意可知，
AB PD^
，
AB DE^
，
PD DE D=
，
所以
AB ^
平面
PDG
，进而得
AB PG^
，
AB DG^
，
所以
PGDÐ
就是二面角
P AB C- -
的平面角． …………2分
在
PAB△
中，因为
PA PB=
，
AB PG^
，所以
G
是
AB
的中点，连接
CG
，又因为
PD ^
平面
ABC
，所以
D
是正三角形
ABC
的中心，进而得
D
在
CG
上，且
2.
3
CD CG
由题设条件可知，正三棱锥的侧面都是直角三角形且
3 2PG
，可得
PC
平面
PAB
，
又
DE
平面
PAB
，所以
/ /DE PC
，因此
2 1
, .
3 3
PE PG DE PC 
可得
2 , 2 2DE PE 
，
6GD =
，
在直角
PGD△
中，
6 3
cos 3
3 2
GD
PGD PG
Ð = = =
．
故二面角
P AB C- -
的余弦值为
3
3
； …………5分
（2）在平面
PAB
内，过点
E
作
PB
的平行线交
PA
于点
F
，
则
EF ^
平面
PAC
． …………7分
理由如下：
由已知可得
PB PA^
，
PB PC
，又
EF PB∥
，
所以
EF PA EF PC， 
，因此
EF ^
平面
PAC
． …………9分
在等腰直角三角形
EFP
中，可得
2EF PF 
．
所以四面体
PDEF
的体积
1 1 1 4
222
3 3 2 3
PEF
V S DE
△
  
．…………12 分
20．解：设
1
A
，
2
A
，
3
A
，
4
A
分别表示 1，2，3，4号箱子里有奖品，设
1
B
，
2
B
，
3
B
，
4
B
分别表示主持人打开 1，2，3，4号箱子，则
1 2 3 4
A A A AW =  
，且
1
A
，
2
A
，
3
A
，
4
A
两
两互斥． ………2分
由题意可知，事件
1
A
，
2
A
，
3
A
，
4
A
的概率都是
1
4
，
4 1
1
( | ) 2
P B A =
，
4 2
1
( | ) 3
P B A =
，
4 3
1
( | ) 2
P B A =
，
4 4
( | ) 0P B A =
．
（1）由全概率公式，得
4
4 4
1
1 1 1 1 1
( ) ( ) ( | ) ( )
4 2 3 2 3
i i
i
P B P A P B A
=
= = + + =
å
． ………5分
（2）在主持人打开 4号箱的条件下，1号箱、2号箱、3号箱里有奖品的条件概率分别为
第3页 共 5页
1 4 1 4 1
1 4
4 4
( ) ( ) ( | ) 3
( | ) ( ) ( ) 8
P A B P A P B A
P A B P B P B
= = =
， ………7分
2 4 2 4 2
2 4
4 4
( ) ( ) ( | ) 1
( | ) ( ) ( ) 4
P A B P A P B A
P A B P B P B
= = =
， ………9分
3 4 3 4 3
3 4
4 4
( ) ( ) ( | ) 3
( | ) ( ) ( ) 8
P A B P A P B A
P A B P B P B
= = =
， ………11 分
通过概率大小比较，甲应该改选 1号或 3号箱． ………12 分
21．解：（1）由题意知
72 6 2BQ BA BQ BD DQ 
，且
6 2 8AQ 
，
根据椭圆的定义知，交点
B
的轨迹是以点
A Q，
为焦点的椭圆，且
2 6 2a
，
2 8c
，
所以
2 2 2 18 16 2b a c  
，
故曲线
C
的方程为
2 2
1
18 2
x y
 
.…………………………4分
（2）因为曲线
T
与曲线
C
相似，且它们的焦点在同一条直线上，曲线
T
经过点
 
3 0E，
，
 
3 0F，
，
所以可设曲线
T
的方程为
2 2
18 2
x y
 
(
0
).
将点
 
3 0F，
的坐标代入上式得，
1
2
，
故曲线
T
的方程为
2
21
9
xy 
.…………………………6分
设
P
(
0 0
x y，
)，
M
(
1 1
x y，
)，
G
(
2 2
x y，
).
①当切线
PG
的斜率不存在时，切线
PG
的方程为
3x 
，代入
2 2
1
18 2
x y
 
得
1y 
，此时，
PG
(
PH
)与曲线
T
相切，
M
为
PG
的中点，
N
为
PH
的中点，所以
MN GH∥
；
同理可求，当切线
PH
的斜率不存在时，有
MN GH∥
.…………………………8分
②当切线
PG
和
PH
的斜率都存在时，设切线
PG
的方程为
y kx m 
，分别代入
2
21
9
xy 
和
2 2
1
18 2
x y
 
，化简得
 
2 2 2
9 1 18 9 9 0k x kmx m  
①，
 
2 2 2
9 1 18 9 18 0k x kmx m  
②.
由题意知，方程①有两个相等的实数根
1
x
；方程②有两个不相等的实数根
0 2
x x，
，
所以
1 1 0 2 2
18
9 1
km
x x x x k
 
，即
0 2 1
2x x x 
，
所以
 
0 2 0 2 1 1
2 2 2 2y y k x x m kx m y     
，
此时，
M
为
PG
的中点.
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