江苏省苏州市2023-2024学年高三上学期期中调研 数学答案

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高三数学期中参考答案 第1页 共6页
2023～2024 学年第一学期高三期中调研试卷
数学参考答案及评分建议 2023.11
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共计 40 分．
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案
D
C
D
B
D
A
C
B
二、多项选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共计 20 分．
题 号
9
10
11
12
答 案
AD
AC
BCD
ABD
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共计 20 分．
13．20 ; 14．
3
; 15．
; 16．
( 3, 3)
，
( 3,3)
四、解答题：本大题共 6小题，共计 70 分．
17．（本小题满分 10 分）
解：（1）因为
( ) sin 3 cos 2sin( )
2 2 2 3
 
x x x
f x
，…………………………………………… 2分
当
2 ,
2 3 2
 
 
xk k Z
即
5
4 ,
3
  x k k Z
时，f (x)取得最小值
－
2， ……………… 4分
所以 f (x)的最小值为
－
2，此时 x的取值集合为
5
{ | 4 , }
3
  x x k k Z
． ……………… 5分
（2）设
( )f x
的图象向右平移
m
( 0)m
个单位后得到函数
( )g x
，则
( ) 2sin( )
2 3
 
 
x m
g x
，
因为
( )g x
为偶函数，所以
( ) ( ) g x g x
，即
sin( ) sin( )
2 2 3 2 2 3
 
   
x m x m
，
所以
sin cos( ) 0
2 2 3
 
x m
恒成立，所以
,
2 3 2
 
 
mk k Z
， ……………………… 8分
所以
2 ,
3
  m k k Z
， ………………………………………………………………… 9分
又因为
0m
，所以
min
5
3
m
． …………………………………………………………… 10分
18．(本小题满分 12 分)
解：（1）由
b
=2 及
2cos 3 cos A a B
得
cos 3 cosb A a B 
，即
cos cos 3 b A a B
，……… 2分
由余弦定理得
2 2 2 2 2 2
3
2 2
   
 
b c a a c b
b a
bc ac
，…………………………………………… 4
分
所以
3c
． …………………………………………………………………………………… 5分
（2）若选①，记∠BAC=2θ，∠BAC 的平分线交 BC 于D，则有
 
ABC ABD ACD
S S S
△ △ △
，
………………………………………………………………………………………… 6分
即
1 1 1
sin 2 sin sin
2 2 2
 bc b AD c AD
 
，………………………………………………… 7
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高三数学期中参考答案 第2页 共6页
z
分
即
12 18
6sin 2 sin sin
5 5
 
 
即
sin 2 sin
 
，所以
2sin cos sin
 
， ……………… 9分
因为
(0, )
2
，所以
sin 0
从而
1
cos 2
即
3
，………………………………… 11分
所以
2
3
 BAC
. …………………………………………………………………………… 12分
若选②，由于 D为BC 中点，所以
1( )
2
 
 
AD AB AC
， ………………………………… 6分
即
2 2 2
4 2   AD AB AC AB AC
 
， ………………………………………………………… 7分
又因为
7
2
AD
，
3AB
，
2AC
，所以
3  AB AC
 
， …………………………… 9分
即
cos 3  AB AC BAC
 
，所以
1
cos 2
 BAC
， …………………………………… 11分
又因为
(0, ) BAC
，所以
2
3
 BAC
. ……………………………………………… 12分
若选③，由于 AH 为BC 边上的高，
在
tR BAH△
中，
2 2 2 9 57 144
919 19 19
 
BH AB AH
，所以
12 19
19
BH
，…………… 7分
在
tR CAH△
中，
2 2 2 9 57 49
419 19 19
 
CH AC AH
，所以
7 19
19
CH
， …………… 9分
所以
19  BC BH CH
，
由余弦定理得
2 2 2 9 4 19 1
cos 2 2 3 2 2
 
 
 
AB AC BC
BAC AB AC
，………………………… 11分
又因为
(0, ) BAC
，所以
2
3
 BAC
. ……………………………………………… 12分
19．(本小题满分 12 分)
解：（1）因为平面
PDB
平面
ABCD
，平面 PDB
平面 ABCD=BD，
AC BD
，
AC
平面
ABCD
所以 AC⊥平面 PDB，………………………………………………………………………… 1分
又因为
PD
平面
PDB
，所以 AC⊥PD， ………………………………………………… 2分
又因为
AB PD
，
A C A B A
，
AC
平面
ABCD
，
AB
平面
ABCD
，
所以 PD⊥平面
ABCD
，……………………………………………………………………… 4分
（2）
由（1）知 PD⊥平面
ABCD
，
又AD
平面
ABCD
，AB
平面
ABCD
，
所以 PD⊥AD，PD⊥AB，
过
A
引
AZ PD∥
，则有 AZ⊥AD，AZ⊥AB，
又因为
0
90 DAB
，即
ADAB
，
以
A
为原点，以
AB
为
x
轴，以
AD
为
y
轴，以
AZ
为
z
轴建立空间直角坐标系， …… 5分
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高三数学期中参考答案 第3页 共6页
设
( 0) AB t t
，则
)0,0,0(A
，
)0,0,(tB
，
)0,1,(tC
，
(0, 2,0)D
，
(0, 2, 2)P
,
所以
)0,1,(tAC
，
)0,2,( tBD
，
)2,0,0(DP
,
由于
AC BD
，所以
AC
0BD
，
所以
22t
，即
2t
，……………………………………………………………………… 7分
从而
)0,1,2(C
，则
)0,1,2( DC
，……………………………………………………… 8分
设平面 PDC 的一个法向量为
),,( zyxn
，则有
0
0
 
 
 
 
n DP
n DC
，
，
即
2 0
2 0
 
z
x y
，
，
取
1x
，解得
2,
0,
y
z
即
(1, 2 , 0)n
， ……………………………………………… 9分
同理，可求得平面
PBC
的一个法向量为
)1,0,1(m
， ………………………………… 10分
所以
6
1
| cos , | | | 6
3 2
 
 
m n
………………………………………………………… 11分
设二面角
BPCD
的平面角为
，
为钝角，
所以二面角 的平面角余弦值为
6
6
. ………………………………………… 12分
20．(本小题满分 12 分)
解：（1）因为
2
( ) 2 
x
f x e x x
，所以
( ) 2 2
 
x
f x e x
， ……………………………………… 1分
( ) ( ) 2 2
 
x
m x f x e x令
，则
( ) 2
 
x
m x e
，
当
( ,ln 2) x
时，
( ) 0
m x
；当
(ln 2, ) x
时，
( ) 0
m x
．
所以
( )m x
在
( ,ln 2)
上单调递减，在
(ln 2, )
上单调递增．
所以
min
( ) (ln 2) 2(2 ln 2) 0   m x m
， ………………………………………………………… 3分
即
( ) 0
f x
恒成立，
所以
( )f x
的单调递增区间为
( , ) 
，无单调递减区间．………………………………… 5分
（2）由题意
( ) (2 ) 1  f x a x
在区间
(0, )
上恒成立，
即
22 2 1 
x
e x x x ax
恒成立，即
1 e
x
a x
x x
在区间
(0, )
上恒成立，……………… 6分
令
1 e
( ) x
g x x
x x
，
(0, ) x
，只需
max
( )a g x
，…………………………………………… 7分
有
2 2 2
( 1)( 1 e )
1 e e
( ) 1  
 
x
x x x x
x
g x x x x
，
(0, ) x
，…………………………………… 8分
令
( ) 1 e x
h x x
，
[0, ) x
，有
( ) 1 e 0
x
h x ≤
，从而
( ) (0) 0h x h≤
， ………………… 9分
所以当
(0,1)x
时，
( ) 0
g x
；当
(1, ) x
时，
( ) 0
g x
，
所以
( )g x
在
(0,1)
上单调递增，在
(1, )
上单调递减， …………………………………… 10分
所以
( ) (1) 2 e  g x g
max
， ………………………………………………………………… 11分
所以
2 a e
. ………………………………………………………………………………… 12分
BPCD
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