江苏省苏北四市2022-2023学年高三上学期期末考试 数学 含答案

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2022～2023 学年高三年级模拟试卷
数　　学
(满分：150 分　考试时间：120 分钟)
2023．1
一、 选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1. 若非空且互不相等的集合 M，N，P满足 M∩N＝M，N∪P＝P，则 M∪P＝(　　)
A. M　　　 B. N　　　 C. P　　 D. ∅
2. 已知 i5＝a＋bi(a，b∈R)，则 a＋b的值为(　　)
A. －1　 B. 0　　 C. 1　　 D. 2
3. 设p：4x－3＜1；q：x－(2a＋1)＜0，若 p是q的充分不必要条件，则(　　)
A. a＞0　　　　 B. a＞1　　　 C. a≥0　　　 D. a≥1
4. 已知点 Q在圆 C：x2－4x＋y2＋3＝0上，点 P在直线 y＝x上，则 PQ 的最小值为(
)
A. －1　　　 B. 1　　　 C. 　　　 D. 2
5. 某次足球赛共 8支球队参加，分三个阶段进行．
(1) 小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组 4队进行单循环比赛，以积分和净胜球数取
前两名；
(2) 半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名进行主、客场交叉淘
汰赛(每两队主、客场各赛 1场)，决出胜者；
(3) 决赛：两个胜队参加，比赛 1场，决出胜负．
则全部赛程共需比赛的场数为(　　)
A. 15　　 B. 16　　 C. 17　　 D. 18
6. 若f(x)＝sin (2x＋)在区间[－t，t]上单调递增，则实数 t的取值范围是(　　)
A. [，]　　　 B. (0，]　 C. [，]　 D. (0，]
7. 足球是由 12 个正五边形和 20 个正六边形组成的．如图，将足球上的一个正六边形和
它相邻的正五边形展开放平，若正多边形边长为 a，A，B，C分别为正多边形的顶点，则
AB·AC＝(　　)
A. (3＋cos 18°)a2
B. (＋cos 18°)a2
C. (3＋cos 18°)a2
D. (3＋3cos 18°)a2
8. 在某次数学节上，甲、乙、丙、丁四位同学分别写下了一个命题：
甲：ln 3＜ln 2；乙：ln π＜；丙：2＜12；丁：3eln 2＞4.
所写为真命题的是(　　)
A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 丙和丁 D．甲和丁
二、 多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共计 20 分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9. 连续抛掷一枚骰子 2次，记事件 A表示“2次结果中正面向上的点数之和为奇数”，
事件 B表示“2次结果中至少一次正面向上的点数为偶数”，则(　　)
A. 事件 A与事件 B不互斥 B. 事件 A与事件 B相互独立
C. P(AB)＝ D. P(A|B)＝
10. 在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1＝3，底面 ABCD 是边长为 2的正方形，底面
A1B1C1D1的中心为 M，则(　　)
A. C1D1∥平面 ABM
B. 向量AM在向量AC上的投影向量为AC
C. 棱锥 MABCD 的内切球的半径为
D. 直线 AM 与BC 所成角的余弦值为
11. 公元前 6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派把(≈0.618)称为黄金数．离心率等于黄金数
的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若黄金双曲线 E：－y2＝1(a＞0)的左、右顶点分别为
A1，A2，虚轴的上端点为 B，左焦点为 F，离心率为 e，则(　　)
A. a2e＝1
B. A2B·FB＝0
C. 顶点到渐近线的距离为 e
D. △A2FB 的外接圆的面积为 π
12. 设函数 f(x)的定义域为 R，f(2x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当 x∈[0，1]时，f(x)
＝ax＋b，若 f(0)＋f(3)＝－1，则(　　)
A. b＝－2 B. f(2 023)＝－1
C. f(x)为偶函数 D. f(x)的图象关于点(，0)对称
三、 填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共计 20 分．
13. 若(1－2x)5(x＋2)＝a0＋a1x＋…＋a6x6，则 a3＝________．
14. 某学校组织 1 200 名学生进行“防疫知识测试”．测试后统计分析如下：学生的平
均成绩为x＝80，方差为s2＝25.学校要对成绩不低于90 分的学生进行表彰．假设学生的测
试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为平均数x，σ2近似为方差s2，则估计获
表彰的学生人数为________．(四舍五入，保留整数)
参考数据：随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则 P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 7，
P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997 3.
15. 已知抛物线y2＝2x与过点T(6，0)的直线相交于 A，B两点，且 OB⊥AB(O为坐标原
点)，则△OAB 的面积为________．
16. 已知函数 f(x)＝则函数 F(x)＝f(f(x))－2f(x)－的零点个数为________．
四、 解答题：本题共 6小题，共计 70 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤．
17. (本小题满分 10 分)
已知△ABC 为锐角三角形，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 a cos B＋b cos A
＝2c cos C.
(1) 求角C的大小；
(2) 若c＝2，求△ABC 的周长的取值范围．
18.(本小题满分 12 分)
已知等比数列{an}的前 n项和为 Sn，S3＝14，S6＝126.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 当n∈N*时，anb1＋an－1b2＋…＋a1bn＝4n－1，求数列{bn}的通项公式．
19.(本小题满分 12 分)
如图，在四棱锥 SABCD 中，侧面SAD⊥底面 ABCD，SA⊥AD，且四边形 ABCD 为平行
四边形，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝，SA＝3.
(1) 求二面角 SCDA 的大小；
(2) 若点 P在线段 SD 上且满足SP＝λSD，试确定实数 λ的值，使得直线 BP 与平面 PCD
所成的角最大．
20.(本小题满分 12 分)
设椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1(－c，0)，F2(c，0)，离心率为，若椭
圆E上的点到直线 l：x＝的最小距离为 3－.
(1) 求椭圆E的方程；
(2) 过F1作直线交椭圆E于A，B两点，设直线 AF2，BF2与直线 l分别交于 C，D两点，
线段 AB，CD 的中点分别为 M，N，O为坐标原点，若 M，O，N三点共线，求直线 AB 的方
程．
21.(本小题满分 12 分)
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