江苏省南通一模数学试题 PDF版含答案

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南通市 2023 届高三第一次调研测试
数学
本试卷共 6页，22 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘
贴处”
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改
动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4. 考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回
一､选择题．本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 A=x1≤x≤3
，B= {x2<x<4
}，则 A∩B=( )
A. 2,3
B. 1,4
C. -∞,4
D. 1,+∞
2. 已知向量 a，b满足 a
=1，b
=2，a,b
=2π
3，则 a⋅a+b
=( )
A. -2 B. -1 C. 0 D. 2
3. 在复平面内，复数 z1，z2对应的点关于直线 x-y=0对称，若 z1=1-i，则 z1-z2
=( )
A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4
4. 2022 年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹．太空中飞船与空间站的对接，需要
经过多次变轨．某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点 (长轴端点中离地
面最远的点)距地面 S1，近地点 (长轴端点中离地面最近的点)距地面 S2，地球的半径为 R，则该椭圆的短轴长为
( )
A. S1S2B. 2 S1S2C. S1+R
S2+R
D. 2 S1+R
S2+R
5. 已知 sin α-π
6
+cosα=3
5，则 cos 2α+π
3
=( )
A. -7
25 B. 7
25 C. -24
25 D. 24
25
6. 已知随机变量 X服从正态分布 N μ,σ2
，有下列四个命题：
甲：P(X>m+1) > P(X<m-2)；
乙：P(X>m) = 0.5；
丙：P X ≤m
=0.5；
丁：P(m-1<X<m) < P(m+1<X<m+2)
如果只有一个假命题，则该命题为 ( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
7. 已知函数 f x
的定义域为 R，且 f2x+1
为偶函数，f x
=f x +1
-f x +2
，若 f1
=2，则 f18
=
( )
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
8. 若过点 P t,0
可以作曲线 y=1-x
ex的两条切线，切点分别为 A x1,y1
，B x2,y2
，则 y1y2的取值范围是
·1·
Ox
y
π
3
5π
6
-1
1
( )
A. 0,4e-3
B. -∞,0
∪0,4e-3
C. -∞,4e-2
D. -∞,0
∪0,4e-2
二､多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5
分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9. 在棱长为 2的正方体 ABCD -A1B1C1D1中，AC 与BD 交于点 O，则 ( )
A. AD1∥平面 BOC1B. BD ⊥平面 COC1
C. C1O与平面 ABCD 所成的角为 45∘D. 三棱锥 C-BOC1的体积为 2
3
10. 函数 f x
=sin ωx +φ
ω>0,φ
<π
2
的部分图象如图所示，则 ( )
A. ω=2
B. φ=π
6
C. f x
的图象关于点 π
12 ,0
对称
D. f x
在区间 π,5π
4
上单调递增
11. 一个袋中有大小､形状完全相同的 3个小球，颜色分别为红､黄､蓝．从袋中先后无放回地取出 2个球，记“第一
次取到红球”为事件 A，“第二次取到黄球”为事件 B，则 ( )
A. P A
=1
3B. A，B为互斥事件 C. P B ∣A
=1
2D. A，B相互独立
12. 已知抛物线 x2=4y的焦点为 F，以该抛物线上三点 A，B，C为切点的切线分别是 l1，l2，l3，直线 l1，l2相交于点
D，l3与l1，l2分别相交于点 P，Q．记 A，B，D的横坐标分别为 x1，x2，x3，则 ( )
A. DA
⋅DB
=0 B. x1+x2=2x3C. AF
⋅BF
= |DF|2D. AP
⋅CQ
=PC
⋅PD
三､填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13. 已知函数 f x
=1+log22-x
,x<1,
2x-1,x≥1,
则f f -2
=．
14. 写出一个同时满足下列条件①②的等比数列 an
的通项公式 an=．
①anan+1<0；② an
<an+1
15. 已知圆 O:x2+y2=r2(r>0)，设直线 x+3y-3=0与两坐标轴的交点分别为 A，B，若圆 O上有且只有一个
点P满足 AP
=BP
，则 r的值为 ．
16. 已知正四棱锥 S-ABCD 的所有棱长都为 1，点 E在侧棱 SC 上，过点 E且垂直于 SC 的平面截该棱锥，得到截面
多边形 Γ，则 Γ的边数至多为 ，Γ的面积的最大值为 ． (第一空 2分，第二空 3分)
四､解答题：本题共 6小题，共 70 分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
17. (10 分)在① S1，S2，S4成等比数列，② a4=2a2+2，③ S8=S4+S7-2这三个条件中任选两个，补充在下面问题
中，并完成解答
已知数列 an
是公差不为 0的等差数列，其前 n项和为 Sn，且满足 ， ．
(1)求an
的通项公式；
(2)求1
a1a2
+1
a2a3
+1
a3a4
+⋯ + 1
anan+1
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分。
·2·
18. (12 分)第二十二届卡塔尔世界杯足球赛 (FIFAWorldCupQatar2022)决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大
战战胜了法国队．某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 40
女生 30
合计
有关，随机抽取了男､女同学各 100 名进行调查，部分数
(1)根据所给数据完成上表，并判断是否有 99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？
(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了 2名男生和 1名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为 2
3，
女生进球的概率为 1
2，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求 3人进球总次数的分布列和数学期望．
附：K2=n(ad -bc)2
a+b
c+d
a+c
b+d
P K2≥k
0.050 0.010 0.001
k3.841 6.635 10.828
19. (12 分)在△ABC 中，A，B，C的对边分别为 a，b，c，acosB-2acosC=2c-b
cosA
(1)若c=3a，求 cosB的值；
(2)若b=1，∠BAC 的平分线 AD 交BC 于点 D，求 AD 长度的取值范围．
20. (12 分)如图，在 △ABC 中，AD 是BC 边上的高，以 AD 为折痕，将 △ACD 折至 △APD 的位置，使得 PB ⊥AB．
A
B
C
D
P
(1)证明：PB ⊥平面 ABD；
(2)若AD =PB =4，BD =2，求二面角 B-PA -D的正弦值．
·3·
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