江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期期末数学试题参考答案

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2022－2023 学年度高三年级第一学期期末教学质量调研

数学试题参考答案及评分标准

一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中，

只有一个是符合题目要求的．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

A

B

D

A

D

B

A

二、多项选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共计 20 分．在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．

题号

9

10

11

12

答案

ABC

ACD

ABD

BCD

三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共计 20 分．

题号

13

14

15

16

答案

60

2

10

e



−





，

8π

四、解答题：本大题共 6小题，共 70 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分 10 分)

【解】（1）选①，

22 4 1

n n n

a a S+ = −

，则

2+1 +1 +1

2 4 1

n n n

a a S+ = −

，

故

22

+1 +1 +1

422

n n n n n

a a a a a+−−=

，即

( )

22

+1 +1

2

n n n n

a a a a−+=

，

因

0

n

a

，

10

nn

aa

+

+

，所以

12

nn

aa

+−=

为定值，

故数列

 

n

a

是首项

11a=

，公差为

2d=

的等差数列，

所以

21

n

a n=−

． ……………………5分

选②，因为

( )

11

nn

aa

n n n n

+−=

++

，故

111

11

nn

aa

n n n n

+− = −

++

，

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所以

11

1

nn

aa

nn

+=

++

+

，故数列

1

n

a

n

+







是常数列，

所以

1

112

1

n

aa

n

++

==

，故

21

n

a n=−

． ……………………5分

（2）由（1）知

21

n

a n=−

，

2

n

Sn=

，

故

( )

22

cos π1n

n

b n n n= = −

，

所以

( ) ( )

2 1 2

2 2 2 2

21 1 2 3 4 1 2 1

n

Tn

−

−= − + − + − + −  −

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 3 4 5 2 2 2 1nn= − − + − + − − − + −





( ) ( )

1 2 3 4 5 2 2 2 1nn= − − + + + + + − + −





( ) ( )

2 2 2 2 1

12

nn− + −





= − −

2

2nn= − +

． ……………………10 分

18．(本小题满分 12 分)

【解】（1）提出假设 H0：性别与作品合格与否无关．

2

2300 (120 50 30 100) 6.818 6.635

150 150 220 80



  − 

=  

  

，

当

0

H

成立时，

( )

26.635 0.01P



=≥

，

所以有 99%的把握认为性别与作品是否合格有关． ……………………5分

（2）X的所有可能值分别为 0，1，2，3．

( )

1 1 2 1

04 2 3 12

PX= =   =

，

( )

3 1 2 1 1 2 1 1 1 3

14 2 3 4 2 3 4 2 3 8

PX= =   +   +   =

，

( )

3 1 2 3 1 1 1 1 1 5

24 2 3 4 2 3 4 2 3 12

PX= =   +   +   =

，

( )

3 1 1 1

34 2 3 8

PX= =   =

． ……………………9分

故X的概率分布为

X

0

1

2

3

P

1

12

3

8

5

12

1

8

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( )

1 3 5 1 19

0 1 2 3

12 8 12 8 12

EX=  +  +  +  =

， ……………………11 分

所以参赛者在 3轮挑战中成功的次数 X的数学期望为

19

12

次．

……………………12 分

19．(本小题满分 12 分)

【解】（1）在△AMC 中，AM＝CM＝1．

π

6

A=

，

所以

π

6

ACM =

，

又CM 是∠ACB 的平分线，

所以

2π

3

ACB ACM ==

，

π

6

BCM =

，

故

2

ππ

B A ACB −   ==−

，

在Rt△CBM 中，CM＝1，

π

6

BCM =

，

故

1

2

BM =

，

3

2

BC =

，

所以△ABC 的面积

1 1 1 3 3 3

1

2 2 2 2 8

S AB BC 

=   =  +  =





．

……………………5分

（2）设

A



=

，则

ACM BCM



 =  =

，

2CMB



=

，

π3B



 = −

，

所以

0π

02 π

0π3π





−











，

解得

π

03





， ……………………7分

在△CBM 中，据正弦定理，得

sin sin

BM CM

BCM B

=



，

得

( )

sin sin sin

sin sin π3 sin3

BCM

BM CM B





=  = =

−

，

所以

cosAM MC BM AM MC CMB BM + =  +

sin sin

cos2 cos2

sin3 sin cos2 cos sin2



    

= + = + +

2

sin

cos2 sin cos2 2sin sin



   

=+ +

2

11

cos2 cos2

cos2 2cos 2cos2 1



  

= + = +

++

2cos2 1 1 1

2 cos2 1 2



+

= + −

+

……………………10 分

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