江苏省南通市启东市吕四中学2022-2023学年高三下学期开学检测数学试卷 可编辑PDF版含答案

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启东市吕四中学 2022~2023 学年度第二学期开学检测
高三数学试卷
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求的）
1.若集合
 
A x y x==
，
 
220B x x x= − −
，则
AB=
（ ）
A.
 
01xx
B.
 
01xx
C.
 
02xx
D.
 
02xx
2.若复数
z
满足
，则
||z=
（ ）
A.1 B.
2
C.
3
D.2
3.将函数
( ) sin 2 6
f x x

=−


的图象向左平移
6
个单位长度后得到函数
()gx
的图象，则
()gx
的
解析式为（ ）
A.
( ) sin2g x x=
B.
( ) sin 2 3
g x x

=−


C.
( ) sin 2 6
g x x

=+


D.
( ) cos2g x x=−
4.由3个2，1个0，2个3组成的六位数中，满足有相邻 4位恰好是 2023 的六位数个数为（ ）
A.3 B.6 C.9 D.24
5.若正四面体的表面积为
83
，则其外接球的体积为（ ）
A.
43
B.
12
C.
86
D.
32 3
6.已知非零向量
,AB AC
满足
| | | |
AB BC AC CB
AB AC

=
，且
1
2
| | | |
AB AC
AB AC
=
，则
ABC
为（ ）
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
7.已知等差数列
 
n
a
的公差为
d
，随机变量
X
满足
( )
( ) 0 1 ,
ii
P X i a a= =
1,2,3i=
，4，则
d
的
取值范围是（ ）
A.
11
,
22

−


B.
11
,
26

−


C.
11
,
62

−


D.
11
,
66

−


8.已知函数
() eln
x
fx x
=
，关于
x
的方程
22
[ ( )] 2( 1) ( ) 2 0f x a f x a a− + + + =
至少有三个互不相等的
实数解，则
a
的取值范围是（ ）
A.
[1, )+
B.
( 1,0) (1, )−  +
C.
( 1,0) [1, )−  +
D.
( ,0) (1, )−  +
二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分）
9.如图是某正方体的平面展开图，则在该正方体中（ ）
A.
11
AB C D∥
B.
1
AB∥
平面
1
ACD
C.
1
AB
与
1
CB
所成角为 60° D.
1
AB
与平面
1
ABC
所成角的正弦值为
3
3
10.已知函数
( ) ( )
sin cosf x x a x a= − R
的图象关于直线
6
x
=−
对称，则（ ）
A.
( )
fx
的最小正周期为
2
B.
( )
fx
在
,
33


−


上单调递增
C.
( )
fx
的图象关于点
,0
3



对称
D.若
( ) ( )
12
0f x f x+=
，且
( )
fx
在
( )
12
,xx
上无零点，则
12
xx+
的最小值为
2
3
11.已知
0a
，
0b
，且
21ab+=
，则（ ）
A.
1
8
ab
B.
114
21ab
+
+
C.
2
sin 2 1ab+
D.
2
ln e 1
b
a−
−  −
12.已知过抛物线
2
:4C y x=
焦点
F
的直线
l
交
C
于
A
，
B
两点，交
C
的准线于点
M
，其中
B
点在线段
AM
上，
O
为坐标原点，设直线
l
的斜率为
k
，则（ ）
A.当
1k=
时，
8AB =
B.当
22k=
时，
BM AB=
C.存在
k
使得
90AOB = 
D.存在
k
使得
120AOB = 
三、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分，两空的题目只对一空得 2分）
13.已知
2 3 6
xy
==
，则
11
xy
+
的值为______.
14.已知向量
( )
sin ,cosa

=
，
( )
3,1b=
，若
ab∥
，则
2
sin sin2

+
的值为______.
15.“0，1数列”是每一项均为 0或1的数列，在通信技术中应用广泛.设
A
是一个“0，1数列”，定义数列
( )
fA
：数列
A
中每个 0都变为“1，0，1”，
A
中每个 1都变为“0，1，0”，所得到的新数列.例如数列
A
：
1，0，则数列
( )
fA
：0，1，0，1，0，1.已知数列
1
A
：1，0，1，0，1，记数列
( )
1kk
A f A
+=
，
1k=
，2，
3，…，则数列
4
A
的所有项之和为______.
16.在直四棱柱
1 1 1 1
ABCD A BC D−
中，底面
ABCD
是边长为 1的正方形，侧棱
12AA =
，
M
为侧棱
1
BB
的
中点，
N
在侧面矩形
11
ADD A
内（异于点
1
D
），则三棱锥
1
N MCD−
体积的最大值为______.
四、解答题（本题共 4小题，共 46 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10 分）在
ABC△
中，内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，且
cos sina C c A b+=
.
（1）求
A
；
（2）若
2AD DC=
，
3BD =
，求
ABC△
面积的最大值.
18.（12 分）定义:在数列
 
n
a
中，若存在正整数
k
，使得
*
nN
，都有
n k n
aa
+=
，则称数列
 
n
a
为
“
k
型数列”.已知数列
 
n
a
满足
11
1
n
n
aa
+=− +
.
（1）证明:数列
 
n
a
为“3型数列”；
（2）若
11a=
，数列
 
n
b
的通项公式为
21
n
bn=−
，求数列
 
nn
ab
的前 15 项和
15
S
.
19.（12 分）某芯片制造企业使用新技术对某款芯片进行生产.生产该款芯片有三道工序，这三道工序互不
影响.已知批次甲的三道工序次品率分别为
1 1 1
,,
50 49 48
.
（1）求批次甲芯片的次品率；
（2）该企业改进生产工艺后，生产了批次乙的芯片.某手机厂商获得批次甲与批次乙的芯片，并在某款手
机上使用.现对使用这款手机的 100 名用户回访，对开机速度进行调查.据统计，安装批次甲的有 40 名，其
中对开机速度满意的有 30 名；安装批次乙的有 60 名，其中对开机速度满意的有 55 名.试整理出
22
列联
表（单位:名），并依据小概率值
0.05
=
的独立性检验，分析芯片批次是否与用户对开机速度满意有关.
批次
是否满意
合计
满意
不满意
甲
乙
合计
附:
2
2()
( )( )( )( )
n ad bc
a b c d a c b d
−
=+ + + +
0.05
0.01
0.005
0.001
a
x
2.706
3.841
7.879
10.828
20.（12 分）如图，
ABC△
是以
BC
为斜边的等腰直角三角形，
BCD△
是等边三角形，
2BC =
，
7AD =
.
（1）求证：
BC AD⊥
；
（2）求平面
ABD
与平面
BCD
夹角的余弦值.
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