江苏省南通市海安高级中学2022-2023学年高二下学期阶段检测(一)数学试题 含解析

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2022-2023 学年第二学期高二年级阶段检测（一）
数学
一、单顶选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 设 ，则 （ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知条件先计算出 ，再利用模长公式计算出 .
【详解】由已知可得 ，
则 ，
故选： .
2. 已知 ，则 （ ）
A. -3 B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由诱导公式、商数关系求得 ，然后由两角差的正切公式计算．
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
．
故选：C．
3. 已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为 2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的
表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出图形，设 ， ，由三角形相似得到 ，得到圆锥的表面
积为 ，令 ，由导函数得到当 时，圆锥的表面积取得最小值，进
而得到此时 与 ，作出圆锥的外接球，设外接球半径为 ，由勾股定理列出方程，求出外接球半径和表
面积.
【详解】设圆锥的顶点为 ，底面圆的圆心为 ，内切球圆心为 ，
则 ， ，
因为 ⊥，⊥，所以 ∽ ，则 ，
设 ， ，
故 ，由 得： ，
由 得： ，
故 ，所以 ， ，
解得： ，
所以圆锥的表面积为 ，
令 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 时取得最小值， ，
此时 ， ，
设圆锥的外接球球心为 ，连接 ，设 ，
则 ，
由勾股定理得： ，即 ，
解得： ，故其外接球的表面积为 .
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