广西邕衡金卷2023届高三下学期第三次适应性考试（三模）数学（理）PDF版含解析

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理科数学试卷 第 页（共 4页）
1
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邕衡金卷 2023 届高考第三次适应性考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，
写在本试卷上无效．
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知
}31|{ xxA
，
}2|{ x
yyB
，则
A B
（ ）
A．
),1[ 
B．
),1 （
C．
)1，（
D．
]1，（
2．已知复数
= iz a b
（
a
，
，
i
为虚数单位），且
 
1+ i 1+ i ia b
，则
z
在复平面内对应点所在象限
为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限
3．已知
的分布列为
1
0
1
P
1
2
1
3
1
6
且
3Y a  
，
7
( ) 3
E Y
，则
a
的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，
每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把
365
(1 1%)
看作是每天的“进步”率都是
1%
，一年后是
365
1.01 37.7834
；而把
365
(1 1%)
看作是每天“退步”率都是
1%
，一年后是
365
0.99 0.0255
；这样，一年后
的“进步值”是“退步值”的
365
365
1.01 1481
0.99
倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的 2倍，大约经过（ ）天．（参
考数据：
lg101 2.0043
，
lg99 1.9956
，
lg2 0.3010
）
A．35 B．25 C．15 D．9
5．抛物线
xy 2
2
的焦点为
F
，点
),( 11A
，
P
为抛物线上的动点，则
|||| PFPA
的最小值为（ ）
A．
3
B．
2
3
C．
2
D．
2
5
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2
6．已知
i
和
j
是两个正交单位向量，
2 3 
 
a i j
，
 
 
b i kj
且
2 
a b
，则
k
（ ）
A．
2
或
3
B．
2
或
4
C．
3
或
5
D．3或
4
7．在
ABC
中，若
sin 3sinC A
，
22b ac
，则
cos B
（ ）
A．
1
3
B．
1
4
C．
2
3
D．
3
4
8．现有几何体
，当它内部被挖去另一个几何体时的三视图如下，则
的体积等于（ ）
A．
32 3π
B．
256π
3
C．
64π
D．
64π
3
9．已知
sin 3cos 0
 
 
，则
3sin cos
 
 
（ ）
A．
9
10
B．
10
9
C．
9
10
D．
10
9
10．已知直线
: (5 2 ) 2 0( )l mx m y m R  
和圆
2 2
: 4O x y 
，则圆心
O
到直线
l
的距离的最大值
为（ ）
A．
6
5
B．
2 5
5
C．
2 3
3
D．
3
2
11．已知双曲线
C
：
1
2
2
2
2
b
y
a
x
）（ 0,0 ba
，
O
为坐标原点，过
C
的右焦点
F
作
C
的一条渐近线的平
行线交
C
的另一条渐近线于点
Q
，若
3
tan 4
OQF  
，则
C
的离心率为（ ）
A．
6
B．
3
C．
10
D．
10
3
12．已知
e
3
2
a
，
312 .lnb
，
80.c
，则
a
，
b
，
c
的大小关系为（ ）
A．
abc
B．
bac
C．
acb
D．
cab
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13．若实数
x
，
y
满足约束条件
03
033
02
yx
yx
yx
，则
2
1
2yxz
的最大值为 .
14 ． 若
2023 1 2 3 2023
0 1 2 3 2023
(1 3 ) ( )x a a x a x a x a x x R  
， 那 么
2023
1 2
2 2023
3 3 3
a
a a
 
的 值
为 ．
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3
15．如图，有一半径为单位长度的球内切于圆锥，则当圆锥的侧面积取到最小值时，它的高为________．
16．关于函数
( ) tan 3sinf x x x 
有如下四个命题：
①
( )f x
的一个周期是
π
；
②
( )f x
的对称中心是
( π,0)k
 
kZ
；
③
( )f x
在
π
(0 )
2
，
上的最小值是
3 2
12
；
④
( )f x
在
 
0 2π，
内的所有零点之和为
3π
.
其中所有真命题的序号是 .
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（本小题满分 12 分）
已知数列
{ }
n
a
的首项为
2
，
0
n
a
且满足
2 2
1 1
2 0
n n n n
a a a a
 
 
(
2n
且
n N
)，
2
log
n n
b a
.
（1）求
{ }
n
a
的通项公式；
（2）设
1
2
log n
n
n
b
cb
，求
{ }
n
c
的前
n
项和
n
S
.
18．（本小题满分 12 分）
为深入学习党的二十大精神，我校团委组织学生开展了“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛活动，现
从参加该活动的学生中随机抽取了 100 名，统计出他们竞赛成绩分布如下：
成绩（分）
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
人数
2
4
22
40
28
4
（1）求抽取的 100 名学生竞赛成绩的方差
2
s
（同一组中数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）以频率估计概率，发现我校参赛学生竞赛成绩 X近似地服从正态分布
 
2
,N
 
，其中
近似为
样本平均分
x
，
2
近似为样本方差
2
s
，若
2
 
   X
，参赛学生可获得“参赛纪念证书”；若
2
 
 X
，参赛学生可获得“参赛先锋证书”.
①若我校有 3000 名学生参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数（结果保留整数）；
②试判断竞赛成绩为 96 分的学生能否获得“参赛先锋证书”．
附：若
 
2
,X N
 
，则
( ) 0.6827P X
   
   
，
( 2 2 ) 0.9545P X
   
 
，
( 3 3 ) 0.9973P X
   
 
；抽取的这 100 名学生竞赛成绩的平均分
75x
.
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