广西省南宁市第二中学考前模拟大演练理数 数学 PDF版答案

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2023 届南宁市第二中学考前模拟大演练
理科数学试卷答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D A D C C C A D C B A A
9【详解】将该多面体放入正方体中,如图所示.
由于多面体的棱长为1,所以正方体的棱长为 2
因为该多面体是由棱长为 2的正方体连接各棱中点所得,
所以该多面体外接球的球心为正方体体对角线的中点，其外接球直径等于正方体的面对角线长，即
2 2 2R 
所以 1R2
4 4S R
 
答案 C
10【答案】B
【详解】如图，设
2 1
F M PF
于
M
，
则由题意得
2
3
3
F M a
，
1 2 60F PF  
，
∴
1
3
PM a
，
2
2
3
PF a
，
由椭圆定义可得
1 2 1 2 2PF PF PM MF PF a   
，
∴1
MF a，在
1 2
Rt MF F△
中，由勾股定理得
2
2 2
4
3
3
a ca
 
 
 
 
 
，
可得
3
3
c
ea
 
.故选：B
12 原方程可以化成
2ln
x
ex y
a
e y
  ，取
 
 
2
, 1, 4
x
ex
f x x
e
  ，
 
 
ln , 1,
x
g x a x e
x
  .
 
 
 
2
2
' , 1, 4
x
e x x
f x x
e
  ，
当
 
1,0x  时，
 
' 0f x ，故
 
f x 在
 
1,0上为减函数；
当
 
0, 2x
时，
，故
 
f x
在
 
0, 2
上为增函数；
当
 
2, 4x
时，
，故
 
f x
在
 
2,4
上为增函数；
 
0 0f x f 
极小值
，
 
4
2f x f e
 
极大值
，
 
2
3
16
1 , 4f e f e
 
，
 
2
1 ln
' , 1,
x
g x x e
x
 
，故
 
' 0g x
，
 
g x
在
 
1,e
上为增函数.
因为关于
x
的方程
2ln
x
ex y
a
e y
 
在
 
1, 4
有三个不同的实数根，故
 
 
1 4
2
g f
g e f
，故
3
16
1 4
ae
ae e
 
，解答
3
16 3
a
e e
 
，故选 A.
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13 在等差数列
{ }
n
a
中，若
12345120a a a a a   
，则
6 9
2a a 
_______
答案 24
14 已知向量 a，b夹角为 60°，且|a|＝1，|2a－b|＝
2 3
，则|b|＝
解析：∵a，b的夹角为 60°，|a|＝1，
∴a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝
1
2
|b|，
∴|2a－b|2＝4－4×
1
2
|b|＋|b|2＝12.
∴|b|＝4.
答案：4
15 在正方体
1 1 1 1
ABCD A B C D
中，
O
为底面
ABCD
的中心，
M
为线段
1
CC
上的动点（不与两个端点重
合），
P
为线段
BM
的中点，则以下正确的是______________
(1). 直线
DP
与
OM
是异面直线 (2). 三棱锥
1
B DBM
的体积是定值
(3). 存在点
M
，使
1
AC ∥
平面
BDM
(4) 存在点
M
，使
1
A C
平面
BDM
答案（2）（3）
16．已知点
 
4,0A
，点 P在抛物线
2
: 8y x 
上运动，F是抛物线
的焦点，连接 PF 并延长与圆
2 2
: ( 2) 1C x y  
交于点 B，则
2
PA
PB
的最小值是___________.
【答案】4
【分析】求出焦点
 
2,0F
，设
 
,P x y
.表示出
2 2
| | 16
| | 3
PA x
PB x
，令
3x t 
，换元根据基本不等式即可求
出答案.
【详解】
由题意可知，抛物线
28y x
的焦点为
 
2,0F
.
设点
 
,P x y
，则由抛物线的定义得
2PF x 
，
22 2 2 2
( 4) 8 16 8 16PA x y x x x x    
.
要使
2
PA
PB
最小，则应有
1 3PB PF x  
，
此时有
2 2
| | 16
| | 3
PA x
PB x
.
令
3x t 
，则
3x t 
，
2 2
| | ( 3) 16
| |
PA t
PB t
 
26 25 25 6
t t t
t t
 
 
，
因为
2
| | 0
| |
PA
PB
，显然有
0t
，
则由基本不等式知
25 25
2 10t t
t t
 
，当且仅当
25
tt
，即
5t
时等号成立.
故
2
| |
| |
PA
PB
的最小值为
10 6 4 
.
故答案为：4.
三、解答题：本大题共 6小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17 在等差数列
 
n
a
中，
44a
，
n
S
为
 
n
a
的前
n
项和，
10 55S
，数列
 
n
b
满足
 
2 1 2 2 2
1
log log log .
2
n
n n
b b b
 
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