广西南宁市第三中学2022~2023学年高二下学期期中考试数学试题 含解析

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高二期中考试 数学试卷 第 1页 共 4页
南宁三中 2022～2023 学年度下学期高二期中考试
数学试题
命题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组 考试时间：120 分钟 满分：150 分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效.
一、单选题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求.
1．已知集合
 
29A x x 
，
 
| 1 5,B x x x   N
，则
A B
（ ）
A．
 
1,3
B．
 
0,5
C．
 
1, 2
D．
 
0,1, 2
2．若复数 z满足
，则
z
（ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
3．设
a R
，则“
1a
”是“直线
1
l
：
042 yax
与直线
2
l
：
 
1 2 0x a y  
平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．记等差数列
 
n
a
的前
n
项和为
n
S
，若
11 44S
，则
4 6 8
a a a 
（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
5. 函数
3 2
1
( ) 4 9 6
3
f x x x x  
在区间
[ 1 2]- ，
上的最小值为（ ）
A．
56
3
B．
20
3
C．
4
3
D．
3
6. 已知圆的方程为
2 2 6 8 0x y x y  
，设该圆过点
 
3,5
的最长弦和最短弦分别为 AC 和BD，
则四边形 ABCD 的面积为（ ）
A．
10 6
B．
20 6
C．
30 6
D．
40 6
7．已知 F为双曲线
2 2
2 2
: 1( 0, 0)
x y
C a b
a b
 
的左焦点，直线 l经过点 F，若点 A(a，0)，B(0，b)
关于直线 l对称，则双曲线 C的离心率为（ ）
A．
3 1
2
B．
2 1
2
C．
3
＋1 D．
2
＋1
8．已知
10 ln10
20
a
，
3
2 2
e
b
，
ln 3
3
c
，则（ ）
A．
a c b 
B．
c b a 
C．
bac 
D．
b<c<a
高二期中考试 数学试卷 第 2页 共 4页
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.
9．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、
“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选 2门课程学习，共有 15 种选法
B．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有 240 种排法
C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有 144 种排法
D．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有 480 种排法
10．已知等比数列
{ }
n
a
的公比为
q
，前
n
项积为
n
T
，若
1128a
，且
7 8
T T
，则下列命题正确的是（ ）
A．
1
8a
B．当且仅当
8n
时，
n
T
取得最大值
C．
1
2
q
D.
 
*
1 2 1 2 15 N , 15
n n
a a a a a a n n
   
11．已知抛物线
 
2
: 2 0C x py p 
的焦点为 F，点
 
2,1A
在C上，P为C上的一个动点，则（ ）
A．C的准线方程为
= 1x
B．若
 
0,3M
，则
PM
的最小值为
2 2
C．若
 
3,5M
，则
PMF△
的周长的最小值为 11
D．在 x轴上存在点 E，使得
PEF
为钝角
12. 已知函数
   
21
e , ln 2
x
f x g x x  
分别与直线
y a
交于点
,A B
，则下列说法正确的（ ）
A．
AB
的最小值为
1ln2 1
2
B．
Ra
，使得曲线
 
y f x
在点
A
处的切线与曲线
 
y g x
在点
B
处的切线平行
C．函数
   
y f x g x 
的最小值小于 2
D．若
   
2 e 3 2x f x g x  
，则
ex
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．在代数式
5
2)
1
(x
x
的展开式中，常数项为_____________．
14．曲线
2
12
x
x
y
在点
）， 31(
处的切线方程为__________．
15．某班宣传小组有 3名男生和 2名女生.现从这 5名同学中挑选 2人参加小剧场演出，在已知
抽取到有男生的条件下，2名都是男生的概率为___________.
16．已知函数
 
ln x
f x x x ae 
（
e
为自然对数的底数）有两个极值点，则实数
a
的取值范围是
___________.
高二期中考试 数学试卷 第 3页 共 4页
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分 10 分）某校为增强学生的环保意识，普及环保知识，在全校范围内组织了一
次有关环保知识的竞赛.现从参赛的所有学生中，随机抽取
200
人的成绩（满分为
100
分）
作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示.
（1）求频率分布直方图中
a
的值，并估计该校此次环保知识竞赛成绩的第
50
百分位数；
（2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩低于
70
分的学生中随机抽取
6
人，查看
他们的答题情况，再从这
6
人中随机抽取
2
人进行调查分析，求这
2
人中至少有
1
人成绩在
60, 70
内的概率.
18．（本小题满分 12 分）如图所示，在
ABC
中，
,A
,B
C
的对边分别为
cba ,,
，已知
2 sin cos sin 0,b A B a B 
1a
，
2c
.
（1）求
b
和
sin C
；
（2）如图，设 D为AC 边上一点，
3
7
BD
CD
，求
ABD
的面积.
19．（本小题满分 12 分）在数列
 
n
a
中，已知
12a
，
 
*
13 2 N
n n
a a n
 
.
（1）证明：数列
 
1
n
a
为等比数列；
（2）记
1
3n
n
n n
ba a
，数列
 
n
b
的前
n
项和为
n
S
，求使得
499
2000
n
S
成立的整数
n
的最大值.
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