深圳高级中学高中园2022-2023学年度第二学期期中考试 数学答案（解析）

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深圳市高级中学高中园 2022-2023学年度第二学期期中考试
高一数学答案
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题满分 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，选对得 5分，选错得 0分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A C C B A C
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题满分 5分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求．全部选对得 5分，部分选对得 2分，有选错的得 0分．
题号 9 10 11 12
答案 ABC ABC AD AC
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13.
{ 2, 2}ii−
；14.
7 29
145
−
；15.
5 17
[, ]
2 48 2 48
kk
π ππ π
++
；16. 30
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知
12
12
111
5 10, 3 4,z iz izzz
=+ =−=+
．求（1）
12
zz
；（2）
z
．
解析：（1）
12
(5 10 )(3 4 ) 55 10zz i i i
=+ −=+
；…………5分
（2）由题可知
12
1 2 12
111zz
z z z zz
+
=+=
，所以
，…………9 分
5
52
zi= +
…………10 分
18. 如图，一块边长为
100cm
的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四
个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．
（1）请在答卷指定位置的空间直角坐标系中按比例画出该正四棱锥的直观图；
（不需要写步骤及作图过程）
（2）求该正四棱锥形容器的体积．
2
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18．
解析（1）
……………………………8 分
【注】
1、作图共 8分，分解为：
①基本结构满足锥体要求 3分（底面两边夹角 45°、平行四边形、1个顶点各 1分）。
②比例正确 3分（底面边长、锥体的高，顶点在底面投影为底面中心各 1分）。
③虚实线标准规范 2分（无虚线扣 1分，画直线不用尺扣 1分）。
2、直观图整体可进行平移和放缩，按比例作出直观图即可给分。
（2）设加工后的正四棱锥为
P ABCD
−
，易得地面是边长为
60cm
的正方形，斜高为
50
，
易得棱锥高
40OP cm=
,………………………………………………9分
正四棱锥形容器的体积为
1
3
P ABCD ABCD
V S OP
−
= ⋅
正方形
160 60 40
3
=×××
………………11 分
48000
=
故求正四棱锥形容器的体积为
3
48000cm
…………………12 分
19．已知
1
tan 42
πα

+=


．
（1）求
tan
α
的值；（2）求
( )
( )
2
2
sin 2 2 sin 2
1 cos 2 sin
π
απ α
πα α

+− −


− −+
的值．
解析（1）
tan tan 1 tan 1
4
tan( )
4 1 tan 2
1 tan tan
4
πα
πα
απα
α
++
+= = =
−
−
，…………3 分
解得
1
tan 3
α
= −
；…………6 分
x
z
O
y
3
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（2）
22
22
sin(2 2 ) sin ( ) sin 2 cos
2
1 cos( 2 ) sin 1 cos2 sin
π
απ α αα
πα α α α
+− − −
− −+ + +
………9 分
2
22 2
2sin cos cos 2tan 1 15
2cos sin 2 tan 19
αα α α
αα α
−−
= = = −
++
．…………12 分
20. 在①
1
cos 2
a B bc−=
；②
()
22
a b cb c
−= +
这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线
上并作答．
问题：在
ABC
中，内角
A
、
B
、
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知______．
（1）求角
A
；（ 2）若
2a=
，
ABC
的面积为
3
4
，求
ABC
的周长．
【解析】（1）选择①：
由正弦定理
2
sin sin sin
abc
R
ABC
= = =
得，
1
sin cos sin sin
2
AB B C−=
，
由
( )
C AB
π
=−+
得
1
sin cos sin sin cos cos sin
2
AB B AB AB−= +
， ……………2 分
即
1sin cos sin
2B AB
−=
又
sin 0B≠
， ∴
1
cos 2
A= −
， ……………………………………………………………4 分
又
(0, )A
π
∈
，
2
3
A
π
=
.………………………………………………………………………6 分
选择②：
由选择条件可得
2 22
a b c bc=++
由余弦定理
222
cos 2
bca
Abc
+−
=
…………………………………………………………2 分
得
22 22
( )1
cos 22
bc bcbc
Abc
+− ++
= = −
，………………………………………………4 分
又
(0, )A
π
∈
，∴
2
3
A
π
=
.…………………………………………………………………6 分
（2）因为
1sin
2
ABC
bc AS =
12
sin
23
3
4
ABC
S bcbc
π
= =∴
， 即
33
44
bc =
1bc∴=
，.……………………8 分
又由余弦定理
222 1
cos 22
bca
Abc
+−
= = −
，化简得
22
4c bc
b+ −=−
，
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