广东省深圳市2023届高三第一次调研考试数学试题答案
2023 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学试题参考答案及评分标准 第1页 共7页
2023 年深圳市高三年级第一次调研考试
数学试题参考答案及评分标准
2023.2
本试卷 22 小题，满分 150 分。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
D
A
C
A
D
B
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
题号
9
10
11
12
答案
AD
BC
BCD
ACD
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
13． 14．
15． （注：答案不唯一，还可能的答案有 ， 等，函数零点 ）
16． ，
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（ 10 分）
解：（1）当 时， ， ；当 时， ， ．
所以 ． ………………………………………………2分
因为 ①， 所以 ②．
②－①得， ，整理得 ， ．
所以 （常数）， ． ………………4分
所以 是首项为 6，公差为 4的等差数列． ……………………………………… 5分
（2）由（1）知， ， ， ． …………………… 6 分
当 为偶数时， …
； ………………………………………………………………7分
10−
1
3
11
,
32
()
21
,
52
()
31
,
82
()
0.41868622x
2 2 2 2 4
( ) ( )x a y a a a− + + = +
4
5
1n=
1
12
2
a
a=+
14a=
2n=
2
12 5
2
a
aa+ = +
22a=
12
6aa+=
21
2
n
n
a
Sn= + +
2
1
1( 1) 1
2
n
n
a
Sn
+
+= + + +
22
1
1( 1)
22
nn
n
aa
a n n
+
+= − + + −
142
nn
a a n
+
+ = +
*
nN
1 2 1
( ) ( ) [4( 1) 2] (4 2) 4
n n n n
a a a a n n
+ + +
+ − + = + + − + =
*
nN
1nn
aa
+
+
14( 1) 2 4 2
nn
a a n n
−+ = − + = −
*
nN
2n
n
1 2 3 4
( ) ( )
n
S a a a a= + + + +
1
(6 4 2)
2
()2
nn
nn
aa
−
+−
+ + =
2
nn=+
2023 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学试题参考答案及评分标准 第2页 共7页
当 为奇数时， …
． ………………………………………………………………9分
综上所述， ………………………………………………10 分
18．（ 12 分）
解：（ 1）由已知得， ， ………………………………………………1分
由正弦定理可得， ， …………………………………2分
因为 ，所以 ．代入上式，整理得
， ………………………………………………………………3分
又因为 ， ，所以 ，即 ． …………5分
而 ，所以 ， ． …………………………………………6分
（2）在 中，由余弦定理得， ．
而 ， ，所以 ．① …………………………………………8分
在 中，由余弦定理得， ，② ……………………………………10 分
由①②两式消去 ，得 ，所以 ．
又 ，解得 ， ． ……………………………………………………11 分
所以 的面积 ． ……………………………………………………12 分
19．（ 12 分）
证明：（ 1）连接 交 于点 ，连接 ．
因为 是菱形，所以 ，且 为 的中点． …………………………1分
因为 ，所以 ． ……………………………………………2分
又因为 平面 ，且 ，
所以 平面 ． …………………………………………………………3分
又 平面 ，所以，平面 平面 ． ………………………………5分
解：（ 2）取 中点 ，连接 交 于点 ，连接 ．
因为 ，所以△ 是等边三角形，
所以 ．
又因为 ，所以 平面 ．
所以 ．
n
1 2 3 4 5
( ) ( )
n
S a a a a a= + + + + +
1
1(10 4 2)
2
( ) 4 2
nn
nn
aa
−
−+−
+ + = +
22nn= + +
2
2
,
2,
n
n n n
Sn n n
+
=++
当 为偶数时
当 为奇数时
，
.
3 sin cosb c a C a C+ = +
sin sin 3sin sin sin cosB C A C A C+ = +
πA B C+ + =
sin sin( ) sin cos cos sinB A C A C A C= + = +
cos sin sin 3sin sinA C C A C+=
(0 , π)C
sin 0C
3sin cos 1AA−=
π1
sin( )
62
A−=
π π 5π
6 6 6
A− −
π π
66
A−=
π
3
A=
ACD△
2
22 2 cos
42
cc
CD b b A= + −
π
3
A=
CD a=
2
22
42
c bc
ab= + −
ABC△
2 2 2
a b c bc= + −
a
2
32c bc=
3
2
c
b=
1bc−=
3b=
2c=
ABC△
1 3 3
sin
22
S bc A==
DB
AC
O
PO
ABCD
BD AC⊥
O
BD
PB PD=
PO BD⊥
,AC PO
APC
AC PO O=
BD ⊥
APC
BD
ABCD
APC ⊥
ABCD
AB
M
DM
AC
H
PH
π
3
BAD=
ABD
DM AB⊥
PD AB⊥
AB ⊥
PDM
AB ⊥
PH
P
A
B
C
D
O
M
H
x
y
z
2023 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学试题参考答案及评分标准 第3页 共7页
由（1）知 ，且 ，所以 平面 ． …………………6分
由 是边长为 2的菱形，在△ 中， ， ．
由 ，在△ 中，
，所以 ． …………………………………7分
（法一）以 为坐标原点， 、 分别为 轴、 轴建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ． …………………………8分
设平面 的法向量为 ，
所以
11 1 1
111
3 2 6
00
33
030
BP x y z
AB xy
= − − + =
=
+=
n
n
，令 得 ． …………9分
设平面 的法向量为 ，
所以
22 2 2
222
3 2 6
00
33
030
BP x y z
CB xy
= − − + =
=
−=
n
n
，令 得 ． …………10 分
设平面 与平面 的夹角为 ．
所以， ．
所以，平面 与平面 夹角的余弦值为 ． …………………………………………12 分
（法二）因为 ， ，
所以， ，所以 ． ………………………………………………8分
取 中点 ，过点 作 且交 于点 ，连接 ， ．
因为△ 是等边三角形，所以 ．
又因为 ，所以 ，
所以 为二面角 的平面角．……………10 分
在△ 中， ．
在△ 中， ．
在△ 中， ．
所以， ，
BD PH⊥
AB BD B=
PH ⊥
ABCD
ABCD
ABC
23
cos30 3
AM
AH ==
cos30 3AO AB= =
AP PC⊥
APC
22 3 4 3 8
3 3 3
PH AH HC= = =
26
3
PH =
O
OB
OC
x
y
(0 , 3 , 0)A−
(1, 0 , 0)B
(0 , 3 , 0)C
3
(0 , , 0)
3
H−
3 2 6
(0, , )
33
P−
(1, 3 , 0)AB =
(1, 3 , 0)CB =−
3 2 6
( 1, , )
33
BP = − −
PAB
1 1 1 1
( , , )x y z=n
11y=
12
( 3 ,1, )
2
= − −n
PBC
2 2 2 2
( , , )x y z=n
21y=
2( 3 ,1, 2)=n
PAB
PBC
12
12
12 2 2 2 2 2 2
2
| 3 3 1 1 2 |
|| 3
2
cos |cos , | | || | 3
2
( 3) 1 ( ) ( 3) 1 ( 2)
2
− + −
= = = =
− + + − + +
nn
nn nn
PAB
PBC
3
3
22
2PB PA PH AH= = + =
22
22PC AC PA= − =
2 2 2
PB BC PC+=
PB BC⊥
PB
N
N
//NQ BC
PC
Q
AN
AQ
APB
AN PB⊥
//NQ BC
NQ PB⊥
ANQ
C PB A−−
APB
sin60 3AN AB= =
BPC
11
2
NQ BC==
APC
22
6AQ PA PQ= + =
2 2 2 3
cos 23
AN NQ AQ
ANQ AN NQ
+−
= = −
P
A
B
C
D
O
M
H
N
Q
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2024-12-26 67
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