广东省汕头市金山中学2023-2024学年高一上学期期中考试 数学 答案

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汕头市金山中学 2023 级高一期中考试数学答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
C
B
C
D
A
B
AC
BCD
BC
AD
13、 1； 14、
[1, )
或
(1, )
二选一； 15、
2,
； 16、
[0,2]
17、【解析】（1）因为
13xx

，所以
 
2
1 2 2
29x x x x

 
，解得
；……4分
（2）因为
2
11 11
22 2 1x x x x

 

，所以
11
22
1xx
 
，
01x
，
11
22
1xx
 
………………7分
所以
 
3 1 1 11
2
3
22 214x x xx xx
   
 
   
   
. ………………10 分
18、【解析】（1）因为
12a 
，
2 2 0b  
，所以
3 2 2ab 
，…………4分
所以
2ab
的取值范围是
[ 3,2]
． …………6分
（2）设
2 3 ( ) ( )a b m a b n a b  
则
2
3
mn
mn


，
∴
5
2
m
，
1
2
n
∴
 
51
2322
a b a b a b  
…………8分
∵
13ab 
，
24ab  
，
∴
 
5 5 15
2 2 2
ab 
，
 
1
21
2ab    
…………10 分
∴
 
9 5 1 13
2 2 2 2
a b a b 
即
9 13
23
22
ab 
.
所以
23ab
的取值范围是
9 13
,
22



…………12 分
19、【解析】（1）由题意知，
1
2
和2是方程
25 2 0ax x  
的根．
由韦达定理知
15
2
2
12
2
2
a
a
 

，解得
2a
． …………3分
第2页，共 4页
所以不等式
22
5 1 0ax x a  
可化为
2
2 5 3 0xx  
．
解得
1
2
x
或
3x
．所以不等式的解集为
13
2
x x x

 


或
． …………6分
（2）由（1）知
2a
，代入
2
( ) 2 5 2f x x x 
，
根据凸函数的定义，我们有
 
2
22
12 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
2 5 2 2 5 2 2 5 2
2 2 2 2 2
f x f x x x x x x x x x x x
f
 
   
 
   
   
 
2
22 12
1 2 1 2
20
22
xx
x x x x 
 
 
∴
 
12 12
22
f x f x xx
f



，∴
2
( ) 2 5 2f x x x 
在
R
上是凸函数．…………12 分
20、【解析】（1）根据题意得，
当
0 14x
时，
   
2
2
16 30 12 30
3
g x x f x x x  
， …………2分
当
14 35x
时，
   
400
16 30 50g x x f x x x
  
， …………4分
故
 
2
212 30,0 14,
3400
50 ,14 35.
x x x
gx
xx
x
 
 
…………5分
（2）当
0 14x
时，
 
2
212 30
3
g x x x 
，且当
[0,9]x
时，
 
gx
单调递增，当
(9,14]x
时，
 
gx
单调递减，
此时
 
max 2
( ) 9 81 12 9 30 24
3
g x g   
． …………8分
当
14 35x
时，
 
400 400
50 50 2 10g x x x
xx
   
，
当且仅当
20x
时，等号成立． …………11 分
因为
24 10
，故当
9x
时，
 
gx
取得最大值 24，
即为使公司获得的年利润最大，每年应生产
9
万件该芯片． …………12 分
21、【解析】（1）由题意，得
 
1
00
2
a
f

，所以
1a
， …………2分
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