广东省汕头市金山中学2023-2024学年高二上学期10月阶段考试 数学参考答案

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高二第一学期数学阶段考试参考答案
一、第1-8 题：CBDD，AADA 第9—12 题：AC，AC，BCD，ACD
二、
，
12−5
√
3
23
，
5−2
√
2
，
第 8 题解答：由题意，在空间直角坐标系 中， ， ， ，
设 ， 为平面 的法向量，
则 ， ,，
则 ，
令 则 ，故 ，
则点 到平面 的距离为，
所以 ，
则
又 ， ，
即 ，
所以 ，代入
可得 ，
则
所以 ，则
故选： .
第12 题解答：设 ，则 为增函数，因为
所以 ，
所以 ，所以 .
，
当 时， ，此时 ，有
当 时， ，此时 ，有 ，所以 C、D错误.
故选：ACD
第16 题解答：如图所示：平面 将长方体分成两部分， 有可能在平面 上或平面
上，根据对称性知，两球半径和的最大值是相同的，故仅考虑在平面 上的情况，延长 与 交
于点 ，作 于 点，

设 ，圆 对应的半径为 ，根据三角形内切圆的性质，
在 中， ， ， ，
则 ，又当 与 重合时， 取得最大值，
由内切圆等面积法求得 ，则
设圆 对应的半径为 ，同理可得 ，
又 ，解得 .
故 ， ，
设 ，则 ， ，
由对勾函数性质易知 ，函数 单减，
所以当 时， 取得最大值，即两个球的半径之和达到最大，
此时 ，则 ，则 ，
，且 ，则小球的表面积为 .
故答案为： .
三、解答题
17、【详解】（1）由题意，
a b
 
，
b c∥
 
，
可得
1 0
1 1
2 4 2
x y
y
 
 
，解得
1
2
x
y
 
，
则
 
1,1,1a
，
，所以
 
2, 1, 2a b 
 
，
故
 
2
2 2
2 1 2 3a b  
 
.
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