广东省广州市普通高中2022届高三一模 数学 答案

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1
2022 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学试题参考答案及评分标准
评分说明:
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题
的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的
内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的
一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题不给中间分．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
C
A
B
D
C
D
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
9. BD 10. AC 11. ACD 12. BC
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13.
3
4
14.
 
2,2
15.
4π
3
16.
15
64
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分．
17. (10 分)
（1）解：
，
24a
，
. …………………………………………3分
设等比数列
 
n
a
的公比为
q
，则
2
1
2
a
qa

. …………………………………………4分
所以
1
2 2 2
nn
n
a
 
. ……………………………………………5分
（2）解：因为
 
2
1 log
n
n n n
b a a  
 
2
2 1 log 2
n
nn
 
……………………………6分
 
21
n
nn  
. ……………………………………………7分
当
n
为偶数时，
 
1
2 1 2 4
2
1 2 2 2
n
n
n
nn
S
 
. ………………………………8分
当
n
为奇数时，
 
1
2 1 2 15
2
1 2 2 2
n
n
n
nn
Sn
 

 


. …………………9分
2
H
C
B
A
综上所述，当
n
为偶数时，
14
22
n
n
n
S

；
当
n
为奇数时，
15
22
n
n
n
S

. ……………………………………10分
18. (12 分)
（1）证明: 因为△
ABC
的面积为
1sin
2ab C
，……………………………………………1 分
根据题意得
1sin
2ab C
22
1sin
2a b C



，
因为
sin 0C
, 则
1
2ab
22
1
2ab
， ………………………………………………2 分
即
22
20a ab b 
， ………………………………………………3分
得
 
20a b a b  
， ……………………………………………4分
由于
0ab
，
得
2ab
. ………………………………………………5分
由正弦定理
sin sin
ab
AB
， 得
2
sin sin
bb
AB
，……………………………………6 分
由于
0b
，
所以
sin 2sinAB
. …………………………………………………7分
（2）解法 1：根据余弦定理，由
3
cos 2
a C b
，得
2 2 2 3
22
a b c
ab
ab


. …………8分
得
2 2 2 2
43b b c b  
， ………………………………………………………………9分
解得
2cb
. ………………………………………………………………10 分
所以
2 2 2
cos 2
b c a
Abc

2 2 2
2
2 4 2
4
22
b b b
b

 
. ……………………………12 分
解法 2：如图，作
BH AC
交
CA
的延长线于点
H
，
由
3
cos 2
a C b
，得
3
2
CH b
， …………8 分
则
31
22
AH b b b  
.
在 Rt△
BHC
中，
 
2
2
22 37
222
BH BC CH b b b

 


. …………9分
在 Rt△
AHB
中，
22
22 71 2
22
AB BH AH b b b


 





， ………10 分
3
K
F
H
E
D
C
B
A
2
cos 4
AH
BAH AB
 
. ………………………………………………11分
所以
 
2
cos cos πcos 4
BAC BAH BAH    
，即
cos A
2
4

. …12 分
19. (12 分)
（1）证明：设
AC
，
CD
的中点分别为
F
，
H
，连接
BF
，
FH
，
EH
，
则
FH
∥
AD
，且
2AD FH
. …………………………………………1 分
因为
AD
∥
BE
，
2AD BE
，
所以
FH
∥
BE
,且
FH BE
.
所以四边形
BFHE
是平行四边形. …………………………………………2 分
所以
EH
∥
BF
,且
EH BF
. …………………3 分
因为
AB BC
，所以
BF AC
.
因为
AD
平面
ABC
，
平面
ABC
，
所以
AD BF
.
因为
AD AC A
,
AD
平面
ACD
，
AC
平面
ACD
，
所以
平面
ACD
. ……………………………………4 分
所以
EH
平面
ACD
. ……………………………………5 分
因为
EH
平面
CDE
，
所以平面
CDE
平面
ACD
. …………………………………6 分
（2）解法 1：作
CK AB
于
K
，由题意知
CK AD
，
AB AD A
，
则
平面
ABED
.
连接
EK
，则
CEK
是直线
CE
与平面
ABED
所成角. …………………………7 分
因为
3AB BC
，
2AC
，
在Rt△
AFB
中，
22
2BF AB AF  
，
6
sin 3
BF
BAF AB
 
，
在Rt△
ACK
中，
26
sin 3
CK AC BAF  
， ………………………………8 分
设
22AD BE t
，则四边形
ABED
的面积为
 
1 3 3
22
S AD BE AB t 
.
因为五面体
ABCDE
的体积为
2
，
所以
12
3
C ABED
V S CK
 
. …………………………………………9 分
则
1 3 3 2 6 2
3 2 3
t  
，解得
1t
， …………………………………………10 分
即
2AD
，
1BE
.
在Rt△
EBC
中，
22
2CE BC BE  
，……………………………………11分
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