广东省广州市华南师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题答案

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1
2022-2023 学年华附下学期期中考试
高一数学参考答案
选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
B
B
A
A
B
C
ABD
BD
BC
BC
8．解：由正弦定理,可得
sin sin
a b
A B
，
sin 3 cosa B b A
,
sin sin 3 sin cos ,sin 0A B B A B 
，即
sin tan 3
cos
AA
A 
，
为三角形的内角,
0A
 
，
3
A
，
由正弦定理,可得
2
sin sin sin
a b c R
A B C
 
，其中
R
为
ABC
的外接圆半径，
32 3
sin 3
2
a
A 
，
2 3 sinc C 
，
3a
，
2BD DC
 
，
2BD 
，
在
ABD
中，运用余弦定理,可得
2 2 2 2 cosAD AB BD AB BD B  
22
(2 3 sin ) 4 2 2 3 sin 2 cos( )
3
C C C
 
，
化简,可得
22 3 sin 2 4AD C 
，
3
A
，
2 4
(0, ), 2 (0, )
3 3
C C
 
 
，
当
22
C
时，
取得最大值，
2 3 1 4 1 3
max
AD  
，
故选：C．
12 解：由题得
3AB
，
4AC
，
5BC
，所以
6
ABC
S
，故 A错误
取
BC
中点
M
，则
2 2 2 25
4
PB PC PM MB PM 
 
当
14m
时，
281
4
PM
，即
9
2
PM
，所以
P
点在以
M
为圆心，
9
2
为半径的圆上，因为
5
2
AM
，
2
所以
AP
的最小值为
9 5 2
2 2
 
，故 B正确
当
11
4
m
时，
29PM
，即
3PM
，所以
P
点在以
M
为圆心，
3
为半径的圆上
设直线
AP
与直线
BC
交于点
Q
，则有
AQ AP xAB y AC
 
 
 
，所以
1x y
 
 
，
1
x y
 
，
即当点
P
到直线
BC
的距离最大时，
1
x y
 
取最大值，此时
12 3
1 9
5
12 4
5
x y
 
，故 C正确
对于 D选项，在
AB
取点
D
，使得
1AD
，过
D
作
DE AB
交
BC
于
E
，由
2
PAC
S
可得，
P
在线段
DE
上（不含
,D E
）
而
225
4
m PM 
，所以
m
的取值范围是
6, 2 
，故 D错误
13.
2 i 
14.
3 2
15.
2 7
,
3 6
 
 
16.
2 1
1, 2
 
 
16． 法一：
①当
c b
时，令
1
ct
b 
，
 
 
2
2
2 2 2 2 2 2
11 1
1 ( 1) 2 1 2
1
c
b c b bc b t t
b
b c b c t t t
c
b
 
 
 
 
 
   
1 1 1 2 1
22
2 2 2 2
1 2 2 1 2
11
tt
tt
 
   
，
当且仅当
2 1t 
时取“=”，即
 
2 2
2 1
02
b c b
b c
 
；
②当
=c b
时，
 
2 2 =0
b c b
b c
；
③当
c b
时，令
 
0,1
ct
b 
，
 
2
2 2 2 2 2
2
11
1
( ) 1
c
b c b bc b t
b
c
b c b c t
b
 
 
 
，
令
 
2 2
1 1 1
2
1 ( 1) 2( 1) 2 ( 1) 2
1
t t
f t t t t tt
 
 
   
，
 
0,1t
，根据对勾函数的性质知，当
 
0,1t
3
时，
2
( 1) 1
tt
单调递减，则
( )f t
在
 
0,1
上单调递增，
所以
   
0 1f f t f 
，即
 
2 2
1 0
b c b
b c
 
，
综上得
 
2 2
2 1
12
b c b
b c
 
，所以
 
2 2
b c b
b c
的取值范围是
2 1
1, 2
 
 
.
法二：
角
A
是直角，则
   
 
2 2 2 2
2
2
sin , sin ,
sin ( sin sin ) sin (cos sin )
1 1
(sin 2 sin ) (sin 2 cos 2 1)
2 2
1[ 2 sin(2 ) 1]
2 4
5 2
0 , 2 sin(2 ) ( ,1]
2 4 4 4 4 2
2 1
( 1, ]
2
b a B c a C
b c b b c b a B a C a B B B B
b c a a
B B B B
B
B B B
b c b
a
 
 
 
 
   
 
 
 
17．解（1）由题设，
,CD 2, 2 2
4
ADC AC
 
，
在
ADC
中，由正弦定理得：
sin sin
AC CD
ADC DAC
 
，故
sin 1
sin 2
CD ADC
DAC AC
 
，
又
3
(0, )
4
DAC
 
，则
6
DAC p
Ð =
.
（2）由
5
6
DAB
 
，
6
DAC p
Ð =
，故
2
3
BAC
 
，
在
ABC
中，
2 4 2,AB AC 
所以由余弦定理得：
2 2 2 2 cos 56BC AB AC AB AC BAC   
，故
2 14BC
.
18．解：（1）
 
1 3
cos , sin , 3, 1 , ,
2 2
a x x b a b
 
 
 
 
 
 
 
1 3
cos 3 sin 1 0
2 2
x x
 
 
 
 
 
 
，
cos sin 0x x  
，
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