广东省佛山市第一中学2022-2023学年高二下学期第一次教学质量检测试题 数学答案

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佛山一中 2022~2023 学年度下学期高二级第一次段考数学答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C C A B C B A D BC BCD ACD BCD
13.7 14.110 15.
{
−n2+30 n，1≤ n ≤15
n2−30 n+450 ，n ≥16
16.
23
2
17.【答案】解：
(1)
设等比数列
{
an
}
公比为
q
，由
a1+a4=9
，
a2+a3=6
，
得
，解得：
{
a1=1
q=2,
………………………………………………4 分
∴an=2n− 1
，
n∈N∗
． ………………………………………………………………………5
分
(2)
由
(1)
可得
bn=3nlog2a2n=(2n− 1)3n
， ………………………………………………………6 分
所以数列
{
bn
}
的前
n
项和
Tn=1×3+3×32+5×33+⋯+(2n −1)×3n
，
3Tn=1×32+3×33+5×34+⋯+(2n −1)×3n+1
， …………………………………………7 分
则
−2Tn=3+2×32+2×33+⋯+2×3n−(2n −1)×3n+1
¿−3+2×(3+32+33+⋯+3n)−(2n− 1)×3n+1
¿−3+2×3×(1−3n)
1−3−(2n− 1)×3n+1
…………………………………………………………8 分
¿−2(n+1)∙3n+1−6
……………………………………………………………………………9 分
∴Tn=(n+1)∙3n+1+3
……………………………………………………………………………10 分
18.解：
(1)
因为圆心
C
在直线
x+y=0
上，可设圆心为
C(a , −a)
， …………………………1 分
则点
C
到直线
x − y − 4=0
的距离
d=¿2a − 4∨¿
❑
√
2¿
，
¿OC∨¿❑
√
(− a)2+a2
， ……………………
……3 分
由题意，
d=¿OC∨¿
，则
¿2a − 4∨¿
❑
√
2=❑
√
(− a)2+a2¿
， …………………………………………
………4 分
解得
a=1
， …………………………………………………………………………………………5 分
则所求圆的方程是
(x − 1)2+( y+1)2=2
； ……………………………………………………6 分
(2)
当弦长为
2
，则圆心到直线的距离为
❑
√
r2−1=1
，……………………………………………7 分
当直线斜率不存在时，直线
x=2
，符合题意；……………………………………………………8 分
当直线斜率存在时，设直线方程为
y −1=k(x − 2)
，即
kx − y −2k+1=0
，
圆心到直线的距离
¿2−k∨¿
❑
√
k2+1
=1¿
，………………………………………………………………
………9 分
∴k=3
4
， …………………………………………………………………………………………10 分
∴
直线方程为
3x − 4y −2=0
．……………………………………………………………………11 分
综上所述，直线方程为
x=2
或
3x − 4y −2=0
．………………………………………………12 分
19.解： 证明：因为底面
ABCD
为正方形，所以
BD ⊥AC
, …………………………1 分
因为
PC ⊥平面 ABCD
，
BD ⊂平面 ABCD
，所以
PC ⊥BD
………………………
…2 分
又因为
PC ⋂AC=C，PC 、AC ⊂平面 PAC
， ………………………………………………
…3 分
所以
BD ⊥平面 PAC
……………………………………………………………………………4
分
以
C
为坐标原点，
CB
、
CD
、
CP
分别为
x
、
y
、
z
轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接
BD
交
AC
于
O
，则 ，…5
分
设 ，设 ， ，
则 ， 则 ，………………6 分
由（1） 平面
PAC
，可知 是平面
PAC
的一个法向量，………………7 分
设 为平面
EAC
的一个法向量，则 ，即 ，
取 则 ，则 ，……………………………………………9 分
则⟨ ⟩ ，解得 ， ………………………11 分
所以 ，故线段
PB
上是存在点
E
，当 时二面角 的余弦值是 …12
分
20.【答案】解：
¿
Ⅰ
¿∵an
2+an=2Sn
，
①
∴当n ≥ 2时 ， an −1
2+an − 1=2Sn − 1
，
②
………………………………………………………1 分
①−②
得
an
2− an −1
2+an− an −1=2an
,化简得
(a¿¿n+an− 1)(an− an − 1)=an+an − 1¿
∵an>0
,
∴an−an− 1
=1
(n ≥ 2且n∈N∗)
………………………………………………3 分
∴
数列
{
an
}
为以 1为首项，以 1为公差的等差数列，
∴an=1+(n − 1)=n(n∈N∗)
； ………………………………………………………………4 分
则
bn=1
an
2+2n=1
n2+2n=1
n(n+2)=1
2(1
n−1
n+2)
， ………………………………………………5
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