广东省东莞外国语学校2023-2024学年高二上学期10月月考试题+数学+含解析

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东莞外国语学校 2023-2024 高二数学上学期第一次段考
命题人：潘际栋 审题人：吴森林
一、单选题
1．若直线经过 两点，则直线 的倾斜角为（）
A．B．C．D．
2．若直线 与 直线平行，则 的值为（）
A．B．0 C．1 D．0或1
3．已知三点 、 、 ，则
A．三点构成等腰三角形 B．三点构成直角三角形
C．三点构成等腰直角三角形 D．三点构不成三角形
4．如图，已知正方体 中，点 为上底面 的中心，若 ，
则 　　
A．B．1 C．D．2
5．如图，二面角 的棱 上有 ， 两点，直线 ， 分别在这个二面角的两个半平面内 ，且都垂直
于 ．已知 ， ， ， ，则该二面角的大小为（ ）
A．B．
C． D．
6．如图， ， 分别是圆台上、下底面的两条直径，且 ， ， 是弧
靠近点 的三等分点，则 在 上的投影向量是（）．
A． B．
C．D．
7．如图，正方体中的棱长为 2， 分别为所在棱的中点，则四棱锥 的外接球的表面积为 （ ）
A． B．
C．D．
8．已知 是正方体内切球的一条直径，点 在正方体表面上运动，正方体的棱长是 2，则 的取值范围为（
）
A．B． C．D．
二、多选题
9．若向量 ， ， 是空间的一个基底，向量 那么可以与 ， 构成空间的一组基底的向量是

A． B． C． D．
10．过点 ，并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（）
A．B．
C．D．
11．若直线 ， ， 不能构成三角形，则 m的取值可能为（）．
A．B．C．D．
12．如图，在正方体 中， ，点 P在侧面 及其边界上运动，并且总是保持 ，则下列
结论正确的是（）
A．
B．点 P在线段 上
C． 平面
D．直线 AP 与侧面 所成角的正弦值的范围为
三、填空题
13．过点 且与直线 垂直的直线方程是．
14．已知四棱柱 的底面 ABCD 是矩形，底面边长和侧棱长均为 2， ，则对
角线 的长为_____________．
15．如图，正四棱锥模型 中，过点 作一个平面分别交棱 、 、 于点 、
、 ，若 ， ，则
_____________．
16．材料：在空间直角坐标系中，经过点 且法向量 的平面的方程为
，经过点 且方向向量 的直线方程为
．阅读上面材料，并解决下列问题：平面 的方程为 ，直线 l的方程为
，则 l与 的交点坐标为， 与 所成角的正弦值为．
四、解答题
17．已知 ， ，求：
（1）(－)·( ＋)的值；
（2）以 ， 为邻边的平行四边形的面积．
18．（1）若直线经过两点 ， ，且倾斜角为 ，求 的值．
（2）若 ， ， 三点共线，求实数 的值．
（3）若直线过点 且倾斜角为直线 的倾斜角的 2倍，求直线方程．
19．如图，在四面体 OABC 中， ，N是棱 BC 的中点，P是线段 MN 的中点．设 ， ， ．
(1)用 ， ， 表示向量 ；
(2)已知 ， ，
求 的大小．
20．已知直线 的方程为： ．
(1)求证：不论 为何值，直线必过定点 ；
(2)过点 引直线 ，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求 的方程．
21．如图四棱锥 中，底面 ABCD 是平行四边形， 平面 ABCD，垂足为 G，G在AD 上，且 ，
， ， ，E是BC 的中点．
求异面直线 GE 与PC 所成的角的余弦值；
求点 D到平面 PBG 的距离；
若F点是棱 PC 上一点，且 ，求 的值．
22．(本题 12 分)空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，
那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为 60°，我们将这种坐标系称为
“斜 60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜 60°坐标系”下向量的斜 60°坐标： 分别为“斜 60°坐
标系”下三条数轴（x轴､y轴､z轴）正方向的单位向量，若向量 ，则 与有序实数组（x，y，z）相对应，
称向量 的斜 60°坐标为[x，y，z]，记作 ．
(1)若 ， ，求 的斜 60°坐标；
(2)在平行六面体 中，AB=AD=2，AA1=3， ，如图，以 为基底建
立“空间斜 60°坐标系”．
①若 ，求向量 的斜 坐标；
②若 ，且 ，求 ．
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