福建省厦门市2023届高三毕业班第四次质量检测 数学答案

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1
厦门市 2023 届高三毕业班第四次质量检测
数学参考答案
一、选择题： 1~4：DACB 5~8：ABCA
二、多选题： 9．AD 10．ABD 11．ACD 12．ACD
8．提示：圆台得高
( )
2
2
6 4 1 3 3h= − − =
，将圆台补成圆锥，由相似比
1: 4
知轴截面
是边长为
8
的等边三角形，此时该圆锥内切球半径
22
14
8 4 3
33
r= − =
，此时
2rh
，
所以该球半径最大时
43
3
r=
，对应情形为：与下底面和侧面相切，不与上底面相切，
其表面积为
64 π
3
.
12．提示：A．设
所以
01PF y=+
，因为
00y
，所以
min 1PF =
.A 正确
B．设
(0,1), 0E QF QE=
，所以
Q
点轨迹为
22
59
( ) ( 0)
24
x y x+ − =
，设
5
(0, )
2
R
，
设
2
0
0
( , )
4
x
Px
，
min min
3
2
PQ PR=−
，又因为
2
2 2 2
0
00
51
( ) ( 2) 6 6
4 2 16
x
PR x x= + − = − + 
，所以
min
3
62
PQ =−
，B错误
C．设
1 1 2 2
( , ), ( , )A x y B x y
，又因为
2
4
4
y kx
xy
=+
=
，所以
24 16 0x kx− − =
，
1 2 1 2
0, 4 , 16x x k x x  + = = −
，所以
2
12
12
()
1
16
xx
yy ==
，又因为
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
( 1)( 1) ( ) 1 4 7 0FA FB x x y y x x y y y y k = + − − = + − + + = − −
，
所以
AFB
为钝角，C正确（或者由
,OA OB AFB AOB⊥  
）
D．设
，因为
PFA PFB = 
，所以
FA FP FB FP
FA FB

=
，
所以
0 1 1 0 0 2 2 0
12
( 1)( 1) ( 1)( 1)
11
x x y y x x y y
yy
+ − − + − −
=
++
，
所以
0 1 2 1 2 0 0 2 1 2 1 0
( 1) ( 1)( 1)( 1) ( 1) ( 1)( 1)( 1)x x y y y y x x y y y y+ + − + − = + + − + −
所以
0 1 2 0 1 0 1 2 2 1 0 2 1 0 2 0 1 2 2 1
( 1)( 1) ( 1)( 1)x x y x x y y y y y x x y x x y y y y y+ + − − + + = + + − + − +
所以
12
22
0
1 2 2 1 0 1 2 0
1
( ) ( ) ( 1)( ) 0
42
xx x x x x x x y x x− + − + − − =
，又因为
12
xx
，
所以
12
00
()
5 ( 1) 0
2
xx
xy
+
+ − =
，即
00
5 2 ( 1) 0x k y+ − =
，即
1
5
2
kk = −
，D正确
三、填空题：
2
13．
0
14．
11
2
yx=  +
，
21
2
yx=  +
（写出其中一条直线方程）
15．
π
3
16．
1
；
3 2 6 5 7
,,
2 3 2 2




16．提示：第一空：当
1a=
时，当
01x
时，
( )
cos 0f x x
==
，解得
1
2
x=
；
当
1x
时，
( ) ( )
2
24 8 2 4 0f x x x x= − + = − +
，无零点.
故此时
( )
fx
的零点个数是 1；
第二空：显然，
( )
248y x ax x a= − + 
至多有 2个零点，
故
cos πyx=
在
( )
0, a
上至少有 2个零点，所以
3
2
a
，
①若
( )
cos π0y x x a=  
恰有 2个零点，则
35
22
a
，
此时
( )
248y x ax x a= − + 
恰有两个零点，
所以
( )
2
2
2,
16 32 0,
3 8 0
aa
a
f a a
 = −
= − +
解得
26
23
a
，
此时
3 2 6
23
a
；
②若
( )
cos π0y x x a=  
恰有 3个零点，则
57
22
a
，
此时
( )
2
8 3 0f a a= −
，所以
( )
248y x ax x a= − + 
恰有 1个零点，符合要求.
③当
7
2
a
时，
( )
2
8 3 0f a a= −
，所以
( )
248y x ax x a= − + 
恰有 1个零点，
而
( )
cos πy x x a=
至少有 4个零点，
此时
( )
fx
至少有 5个零点，不符合要求，舍去.
综上，
3 2 6
23
a
或
57
22
a
.
四、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式和三角恒等变换等基础知识；考查运
算求解、推理论证能力；考查数形结合、化归与转化思想等．本题满分 10 分．
解：（1）由题意得
2sin cos 2sin sinB C A C=+
----------------------------------------------- 1分
所以
2sin cos 2sin( ) sinB C B C C= + +
---------------------------------------------------------- 2分
即
2sin cos 2sin cos 2cos sin sinB C B C B C C= + +
-------------------------------------------- 3分
3
所以
2cos sin sin 0B C C+=
----------------------------------------------------------------------- 4分
因为
, (0, π)BC
，所以
，所以
1
cos 2
B=−
，所以
2π
3
B=
---------------------- 5分
（2）
ABC△
中，
2 2 2 2 cosb a c ac B= + −
，
2ca=
，
2π
3
B=
， --------------------------- 6分
所以
222
7 4 2aaa= + +
，所以
1, 2ac==
， ---------------------------------------------------- 7分
又因为
BD
为角
B
的平分线，
ABD CBD ABC
S S S+=
△ △ △
----------------------------------------- 8分
所以
1π1π12π
sin sin sin
2 3 2 3 2 3
BD c BD a a c  + =  
------------------------------------------- 9分
所以
2
3
BD =
----------------------------------------------------------------------------------------- 10 分
18．本题考查数列递推关系、数列通项、数列求和等基础知识；考查运算求解、推理论证能
力；考查函数与方程思想、化归与转化思想等．本题满分 12 分．
解：（1）当
1n=
时，
11
2T a= =
所以
1
= +( 1) 1 1
n
T T n n−  = +
------------------------------------------------------------------------ 1分
所以
1 2 3 1
n
a a a a n = +
当
2n
时，
1 2 3 1n
a a a a n
−
 =
--------------------------------------------------------------------- 2分
所以
1( 2)
n
n
an
n
+
=
------------------------------------------------------------------------------- 3分
又
12a=
符合
1
n
n
an
+
=
----------------------------------------------------------------------------- 4分
所以
1
n
n
an
+
=
---------------------------------------------------------------------------------------- 5分
（2）由（1）得
1
2
nn
bn
=+
------------------------------------------------------------------------- 6分
所以
2 3 1
2 3 4 + + +
2 2 2 2
1
2
nnn
nn
S−
++
= +
……①
所以
2 3 4 1
1 2 3 4
+ + + +
2 2 2 2 2
1
2
nnn
nn
S+
+
= +
……② ------------------------------------------------ 7分
①-②得
2 3 4 1
1 2 1 1 1 1
( + + + )
2 2 2 2 2 2 2
1
nnn
n
S+
−+
=++
--------------------------------------------- 8分
1
1
11
1 ( )
42
112
12
1
n
n
n
−
+

−
−
−
+
=
+
------------------------------------------------------- 10 分
1
31
(1
)
2 2 2
n
n
n
+
+
−= −
所以
3
32
nn
n
S+
−=
---------------------------------------------------------------------------------- 12 分
19．本题考查直线与平面的位置关系、空间角、空间向量等基础知识；考查空间想象、运
算求解、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想等．本题满分 12 分．
解：（1）依题
11
,,DE BE DE A E BE A E E⊥ ⊥ =
，所以
DE ⊥
平面
1
A EB
， ----------- 1分
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