江苏省海安高级中学2023届高三年级阶段检测（四）数学答案

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2023 届高三年级阶段测试（四）》
数学参考答案
一、选择题：
1．C 2．D 3．A 4．B 5．C 6．A 7．B 8．A
二、多项选择题：
9．BCD 10．ABC 11．ACD 12．ABD
三、填空题：
13．6014．1 15．
1
512 16．1
3
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四、解答题
17．解：（1）因为 1sin
2
ABD
S AB AD BAD 
△，1sin
2
ADC
S AC AD CAD 
△，
且2
ABD ADC
S S
△ △ ，BAD CAD   ，所以 2AB AC，
由正弦定理可得 sin 1
sin 2
B AC
C AB
 
．
（2）因为 : :
ABD ADC
S S BD DC
△ △ ，所以 2BD ．
在ABD△和ACD△中，
由余弦定理得 2 2 2 2 cosAB AD BD AD BD ADB   ，
2 2 2 2 cosAC AD DC AD DC ADC ．
所以 2 2 2 2 2
2 3 2 6AB AC AD BD DC ．
由（1）知 2AB AC，所以 1AC ．
在ACD△中，CD 边上的高
2
2 14
14 4
h 
 
 
 
 
，
所以 1 3 2 14 3 7
2 2 4 8
ABC
S 
△．
18．解：（1）当 1n时， 11 1
1 2
4 1
2
a
；
当2n时，由 1 2 1
2
2 4 2
nn
n
a a na
 ，
所以
 
1 2 1 2
1 2
2 1 4 2
nn
n
a a n a
 
 ，
两式相减得 2 1 1
1 2
2 2 2
nn n n
n n n
na  
 
，此时 1
1
2
nn
a
．
经检验知 11a也满足．
故数列
 
n
a是以 1为首项， 1
2为公比的公比数列．
故1
1
2
nn
a
．
（2）令 1
2
n n n
n
b na
  ，所以 2 1
2 3
12 2 2
nn
n
S
  ，
故2 3
1 1 2 3
2 2 2 2 2
nn
n
S  ，
相减得 2 1
1
1 1
1 1 1 1 2
2
1 2
1
2 2 2 2 2 2 2
12
n
nn n n n
n n n
S
 
 
 
 
 
，
所以 1
2
42
nn
n
S
  ．
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19．证明：（1）连接 BD 交AC 于点 O，连按 OE．
因为底面 ABCD 为矩形，所以点 O为BD 的中点，
又E为PD 的中点，所以 OE PB∥，
因为 OE 平面 AEC，PB 平面 AEC，所以 PB ∥平面 AEC．
（2）以 A为原点，直线 AB、AD、AP 分别为 x、y、z轴建立空间直角坐标系，
设AB a，则
 
0, 3, 0D，
 
0,0,0A，3 1
0, ,
2 2
E 
 
 
 
，
 
, 3, 0C a ，
所以 3 1
0, ,
2 2
AE  
 
 
 
，
 
, 3, 0AC a
，
设
 
, ,n x y z
是平面 AEC 的法向量，
则
3 1 0
2 2
3 0
n AE y z
n AC ax y
 
 
 
  ，解得： 3
3
a
y x
z y
 
 
，
令3x，得
 
3, , 3n a a  
，
又因为
 
,0,0AB a
是平面 AED 的一个法向量，
所以
2
3 1
cos , cos 60 2
3 4
a
AB n
a a
 
 
 
，解得 3
2
a，
所以 1 1 1 1 1 3 1 3
3
3 2 2 3 2 2 2 8
E ACD
V AD CD AP
    ．
20．解：（1）记“甲队 3∶0胜利”为事件 1
A，“甲队以 3∶1胜利”为事件 2
A，“甲队以 3∶
2胜利”为事件 3
A，由题意，各局比赛结果相互独立，
故
 
3
1
2 8
3 27
P A  
 
 
  ，
 
2
2
2 3
2 2 2 8
1
3 3 3 27
P A C  
 
 
  ，
 
2 2
1
3 4
2 2 1 4
1
3 3 2 27
P A C  
 
 
 
所以，甲以 3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率分别是 8
27 ，8
27 ，4
27 ．
（2）设“乙队以 3∶2胜利”为事件 4
A，由题意，各局比赛结果相互独立，
所以
 
2 2
1
4 4
2 2 1 4
1 1
3 3 2 27
P A C  
 
 
  ，
由题意，随机变量 X的所有可能的取值为 0，1，2，3，根据事件的互斤性得
 
1 2 1 2
16
( 0) 27
P X P A A P A P A  ，
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