四川省绵阳南山中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理）答案

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绵阳南山中学 2022 年春季高 2020 级半期考试数学（理科）答案
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B D C C D A A B C B A
12. 由我们熟知的不等式 ex⩾x+ 1 有e0.02 >1+0.02 ⇒e0.01 >√1.02,∴b > c
又e−x>1−x, 当x < 1时,有1
ex>1−x⇒ex<1
1−x
∴e0.01 <1
1−0.01 =100
99 ,∴a > b
ȕ.ฒ˭ʚ
13. −414. A, B, F 15. 24 16. 1 4
16. 显然 1正确;
事实上,双曲函数满足 cosh2(x)−sin2h(x) = 1,这也是它名称的由来,2错误;
C1在A处切线:y=cosh(m)(x−m) + sinh(m),C2在B处切线:y=sinh(m)(x−m) + cosh(m),
由此求得两切线的公共点坐标为 P(m+ 1, em),故P在曲线 y=ex−1上,3错误;
|AB|=e−m,由前面分析知 P到AB 距离为 1,∴S△P AB =1
2em,随m增大而减小,4正确.
Ɓ.̛٫ʚ
17. (1) 从上至下依次为 “真”,“假”,“真”,“真”;
(2) 若命题 p为真命题,则a= 0 或
a > 0
∆<0
,解得 a∈[0,4),
若命题 q为真命题,由∆⩾0,解得 a⩽1
4,
要使 (¬p)∨q和p∨(¬q)都是真命题,则需 p, q 同真同假,
若p, q 同真,则有 a∈[0,1
4],若p, q 同假,则有 a⩾4,
综上可知,a的取值范围为 [0,1
4]∪[4,+∞).
18. 以B为坐标原点,
# »
BC,
# »
BA,
# »
BB1方向为 x, y, z 轴正方向,建立空间直角坐标系 B−xyz,
并设 AA1=h,则相关各点坐标分别为:
A(0,√3,0), A1(0,√3, h), B(0,0,0), B1(0,0, h), C(1,0,0), C1(1,0, h), M(1,0,h
2)
(1) ∵
# »
AM = (1,−√3,h
2),
# »
BA1= (0,√3, h),且AM ⊥BA1
∴
# »
AM ·
# »
BA1= 0 ⇒h=√6,所以,AA1=√6;
(2)∵
# »
AC1= (1,−√3,√6),而平面 ABB1A1的法向量为 #»
n= (1,0,0),
∴cos <
# »
AC1,#»
n >=1
√10 =√10
10 ,所以,所求线面角的正弦值为 √10
10 .
19. (1)y=k(a
x+4
10 −x), x ∈(0,10);
(2) y′=k(4
(10 −x)2+a
x2) = k(4x2−a(10 −x)2
(x(10 −x))2),
由题意,y′|x=2 = 0 ⇒16 −64a= 0 ⇒a=1
4,
经检验知,当a=1
4时,y在(0,2) 上单减,在(2,10) 上单增,满足题意.
所以,A化工厂的污染强度为 1
4.
20. 以D为坐标原点,
# »
DA,
# »
DB,
# »
DP 方向为 x, y, z 轴正方向,建立空间直角坐标系 D−xyz,
并设 CD = 2, CB =m,则相关点坐标为:D(0,0,0), A(m, 0,0), B(m, 2,0), C(0,2,0), P (0,0,2),
于是 E(0,1,1),又3
# »
P F =
# »
F B ⇒
# »
DF =3
4
# »
DP +1
4
# »
DB,所以 # »
DF = (m
4,1
2,3
2)
由
# »
DF = (m
4,1
2,3
2)
# »
DE = (0,1,1)
解得平面 DEF 的法向量 #»
n1= (−4,−m, m),
(1) 易知平面 ABCD 的法向量 #»
n2= (0,0,1),∴cos <#»
n1,#»
n2>=m
√2m2+ 16
由题意知,m
√2m2+ 16 =1
2,由此解得 m= 2√2,∴CB
CD =m
2=√2;
(2)∵
# »
P G =λ
# »
P A, ∴
# »
DG =
# »
DP +λ
# »
P A = (λm, 0,2−2λ),
由题意,∵G是平面 DEF 上一点,∴
# »
DG ⊥#»
n1⇒ −4λm +m(2 −2λ) = 0
由此解得:λ=1
3.
21. (1)∵f′(x) = 2x−1
x,在(0,√2
2), f′(x)<0,在(√2
2,+∞), f′(x)>0,
∴f(x)在(0,√2
2)单调递减,在(√2
2,+∞)单调递增,
且当 x→0时,f(x)→+∞,当x→+∞时,f(x)→+∞,
∴由题意可知,x=√2
2是f(x)的唯一零点,由f(√2
2) = 0,解得:a=√2e;
(2)y=x2在(x0, x2
0)处切线 l:y= 2x0(x−x0) + x2
0,整理得:l:y= 2x0x−x2
0,
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