湖南省湘东九校2023-2024学年高三上学期第一次联考数学试卷（解析版）

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湖南省 2024 届高三九校联盟第一次联考
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上､､､ .
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 选择题（本大题共､8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1. 已知集合 ，则满足条件的实数 的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】分 ， 讨论，根据包含关系可得.
【详解】由 可知 ，
当 时， ，满足条件；
当 时， ，要使 ，只需 ，或 ，
所以 或 .
综上，满足条件的实数 取值为 ，共 3个.
故选：D
2. 如果复数 是纯虚数， 是虚数单位，则（ ）
A. 且B.
C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意复数 为纯虚数，即得 ，从而求解.
【详解】由复数 是纯虚数，
得
解得: .
故选:C.
3. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角恒等变换的知识化简已知等式，从而求得 .
【详解】因为 ，
即 ，两边平方可得 ，
解得 .
故选：A
4. 某农机合作社于今年初用 98 万元购进一台大型联合收割机，并立即投入生产.预计该机第一年（今年）
的维修保养费是 12 万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年增加 4万元.若当该机的年平均
耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是（ ）
A. 6 年B. 7 年C. 8 年D. 9 年
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的性质以及求和公式，结合基本不等式即可求解.
【详解】设第 年的维修保养费为 万元，数列 的前 项和为 ，该机的年平均耗费为 ，
据题意，数列 是首项为 12，公差为 4的等差数列.
则.
当且仅当 ，即 时， 取最小值 38.
所以这台冰激凌机的使用年限是 7年.
故选: .
5. 设函数 ，若函数 与 的图象关于直线 对称，则当
时， 的最大值为（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据对称可得 ，进而根据整体方法求解最值即可.
【详解】在 的图象上任取一点 ，它关于 的对称点为 .
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