河南省2022-2023学年高三年级TOP二十名校四月冲刺考（一）文科数学参考答案和解析

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【高三文科数学参考答案　（第 １　　　　页　共８页）】
２０２２
－
２０２３下学年高三年级 ＴＯＰ二十名校四月冲刺考（一）
高三文科数学参考答案
１．【答案】　Ｂ
【解析】　Ａ
＝ｘ｜ｘ（ｘ
－
２）＜０
{ } ＝ｘ｜０＜ｘ＜２
{ } ，则 Ａ
∩Ｂ
＝１
{ } ．故选 Ｂ．
２．【答案】　Ｄ
【解析】　设复数 ｚ，
－
ｉ，ｉ在复平面内对应的点分别为 Ｚ（ｘ，ｙ），Ａ（０，
－
１），Ｂ（０，１），则 ｜ｚ
＋
ｉ｜
＝
｜ｚ
－
ｉ｜
的几何意义是 Ｚ到Ａ的距离和 Ｚ到Ｂ的距离相等，则 ｚ在复平面内对应的点（ｘ，ｙ）满足 ｙ
＝
０．故
选Ｄ．
３．【答案】　Ａ
【解析】　ｙ
＝
ｃｏｓ
２ｘ
－
π
２
( )
＝
ｓｉｎ２ｘ．令ｓｉｎ２ｘ
＝
±１，则 ２ｘ
＝
π
２
＋
ｋ
π
（ｋ
∈Ｚ），即 ｘ
＝
π
４
＋
ｋ
π
２
（ｋ
∈Ｚ），故对
称轴可以是直线 ｘ
＝
π
４
．故选 Ａ．
４．【答案】　Ｃ
【解析】　作出可行域如图中阴影部分所示，当直线 ｙ
＝－
１
２
ｘ
＋ｚ
２
经过点 Ａ（０，２）时，纵截距 ｚ
２
最
大，此时 ｚ
ｍａｘ
＝
０
＋
２
×
２
＝
４．故选 Ｃ．
５．【答案】　Ｂ
【解析】　当ｘ＞１时，ｆ′（ｘ）
＝１
ｘ
；当 ０＜ｘ＜１时，ｆ′（ｘ）
＝－
１
ｘ
．设ｘ
１
＜１，ｘ
２
＞１，因为曲线 ｆ（ｘ）在点 Ａ，Ｂ
处的两条切线互相垂直，所以－
１
ｘ
１
·１
ｘ
２
＝－
１，则ｘ
１
ｘ
２
＝
１．故选 Ｂ．
６．【答案】　Ｄ
【解析】　由函数模型 Ｕ（ｔ）
＝－
Ｕ
０
ｌｎＫｔ，当 ｔ
＝
５０时，Ｕ（ｔ）
＝
１５，可得 １５
＝－
２０ｌｎ（５０Ｋ），即 １５
＝－
２０ｌｎ５０
－
２０ｌｎＫ
①．设血液尿酸浓度达到正常值 ７时，摄入天数为 ｔ′，则 ７
＝－
２０ｌｎ（ｔ′Ｋ），即 ７
＝－
２０ｌｎｔ′
－
２０ｌｎＫ
②，
②－
①，得－
８
＝－
２０ｌｎｔ′
５０
，即 ｌｎｔ′
５０
＝２
５
，则 ｔ′
５０
＝
ｅ
２
５，ｔ′
＝
５０ｅ
２
５≈７４．５．故选 Ｄ．
７．【答案】　Ａ
【解析】　对于选项 Ｂ，ｆ（
－
ｘ）
＝（
－
ｘ）
２
ｓｉｎ（
－
２ｘ）
ｅ
－
ｘ
－
ｅ
ｘ＝
ｘ
２
ｓｉｎ２ｘ
ｅ
ｘ
－
ｅ
－
ｘ＝
ｆ（ｘ），为偶函数，排除 Ｂ；对于选项
Ｃ，ｆ（
－
ｘ）
＝
－
ｘｃｏｓ（
－
２ｘ）
ｅ
－
ｘ
－
ｅ
ｘ＝
ｘｃｏｓ２ｘ
ｅ
ｘ
－
ｅ
－
ｘ＝
ｆ（ｘ），为偶函数，排除 Ｃ；对于选项 Ｄ，当 ｘ
＝
１时，ｆ（１）
＝
ｃｏｓ２
ｅ
－
１
ｅ
＜
【高三文科数学参考答案　（第 ２　　　　页　共８页）】
０，排除 Ｄ．故选 Ａ．
８．【答案】　Ａ
【解析】　由Ａ（３，槡
２３）在 ｙ
２
＝
２ｐｘ上，得 １２
＝
２ｐ
×
３，解得 ｐ
＝
２，则 Ｆ（１，０），直线 ＡＦ的斜率 ｋ
＝槡
２３
３
－
１
＝
槡
３，倾斜角为 ６０°．如图，过点 Ａ作ｌ的垂线，垂足为 Ｈ．由抛物线的定义可知 ｜ＡＦ｜
＝
｜ＡＨ｜．在Ｒｔ
△ＡＨＢ中，
∠ＢＡＨ
＝
６０°，∴ ｜ＡＢ｜
＝
２｜ＡＨ｜，∴ ｜ＢＦ｜
＝
｜ＡＢ｜
－
｜ＡＦ｜
＝
｜ＡＨ｜，∴ ｜ＡＦ｜
＝
｜ＢＦ｜．故选 Ａ．
９．【答案】　Ｄ
【解析】　在△Ａ
１
ＢＣ
１中，因为 Ｍ，Ｎ分别为 Ａ
１
Ｂ，Ａ
１
Ｃ
１的中点，所以 ＭＮ
∥ＢＣ
１
，又 ＢＣ
１
∥ＡＤ
１
，所以
ＭＮ
∥ＡＤ
１
，Ａ选项正确；同理，ＭＰ
∥ＢＤ，ＭＮ
∥ＢＣ
１
，则 ＭＰ
∥平面 ＢＣ
１
Ｄ，ＭＮ
∥平面 ＢＣ
１
Ｄ，所以平
面ＭＮＰ
∥平面 ＢＣ
１
Ｄ，Ｂ选项正确；因为 ＭＮ
∥ＡＤ
１
，ＡＤ
１
⊥ＣＤ，所以 ＭＮ
⊥ＣＤ，Ｃ选项正确；取 ＢＤ
的中点 Ｅ，则∠Ａ
１
ＥＣ
１即为二面角 Ａ
１
－
ＢＤ
－
Ｃ
１的平面角，易知∠Ａ
１
ＥＣ
１
≠９０°，则平面 Ａ
１
ＢＤ与平面
ＢＣ
１
Ｄ不垂直，又平面 ＭＮＰ
∥平面 ＢＣ
１
Ｄ，故平面 ＭＮＰ与平面 Ａ
１
ＢＤ不垂直，Ｄ选项错误．故选 Ｄ．
１０．【答案】　Ｄ
【解析】　在△ＡＢＣ中，｜ＡＣ｜
＝
｜ＢＣ｜
＝
槡
５，如图，当公共弦 ＡＢ最大，即 ＡＢ为圆 Ｃ′的直径时，
∠ＡＣＢ最大，此时在 Ｒｔ
△ＣＣ′Ａ中，｜ＡＣ｜
＝
槡
５，｜ＡＣ′｜
＝
１，｜ＣＣ′｜
＝｜ＡＣ｜
２
－
｜ＡＣ′｜
槡２＝
２．故选 Ｄ．
１１．【答案】　Ｂ
【解析】　由ａ
１
＝
１，ａ
４
＝
４，ａ
２是ａ
１与ａ
４的等比中项，可知 ａ
２
＝
±２．若ａ
２
＝
２，由 ａ
１
＝
ａ
５
＝
１，可知 ａ
６
＝
２，由 ａ
３
＝－
３，可知 ａ
７
＝－
３，则 ａ
８
＝
ａ
４
＝
４，则数列 ａ
ｎ
{ } ：１，２，
－
３，４，１，２，
－
３，４，…，是以 ４为周期
的数列，易知前 ｎ项和无最大值．若ａ
２
＝－
２，同理可得数列 ａ
ｎ
{ } ：１，
－
２，
－
３，４，１，
－
２，
－
３，４，…，则
数列 Ｓ
ｎ
{ } 是以 ４为周期的数列，且 Ｓ
１
＝
１，Ｓ
２
＝－
１，Ｓ
３
＝－
４，Ｓ
４
＝
０，所以 Ｓ
ｎ的最大值 Ｓ
＝
１．故选 Ｂ．
１２．【答案】　Ｄ
【解析】　如图，将圆台 Ｏ
１
Ｏ补成圆锥 ＰＯ．设圆台 Ｏ
１
Ｏ的母线长为 ｌ，则 ｌ
２＝
ｈ
２
＋
（Ｒ
－
ｒ）
２
，等腰梯
形ＡＢＣＤ为过两母线的截面．设ＰＣ
＝
ｘ，
∠ＡＰＢ
＝
θ
，由 ｒ
Ｒ
＝ｘ
ｘ
＋
ｌ
，得 ｘ
＝ｒｌ
Ｒ
－
ｒ
，则 Ｓ
＝
Ｓ
△ＰＡＢ－
Ｓ
△ＰＣＤ
【高三文科数学参考答案　（第 ３　　　　页　共８页）】
＝１
２
［（ｘ
＋
ｌ）
２
－
ｘ
２
］ｓｉｎ
θ
＝Ｒ
＋
ｒ
２（Ｒ
－
ｒ）
ｌ
２
ｓｉｎ
θ
．当ｈ
≥Ｒ
－
ｒ时，
θ≤９０°，当 ｓｉｎ
θ
最大，即截面为轴截面时
面积最大，则 Ｓ的最大值为（Ｒ
＋
ｒ）ｈ．当ｈ＜Ｒ
－
ｒ时，
θ
＞９０°，当 ｓｉｎ
θ
＝
１时，截面面积最大，则 Ｓ的
最大值为 Ｒ
＋
ｒ
２（Ｒ
－
ｒ）
ｌ
２
＝
（Ｒ
＋
ｒ）［ｈ
２
＋
（Ｒ
－
ｒ）
２
］
２（Ｒ
－
ｒ）．故选 Ｄ．
１３．【答案】　（１，
－
１）（答案不唯一，横、纵坐标互为相反数即可）
【解析】　由题意可知 ａ
－
ｂ
＝
（３，３），设 ｃ
＝
（ｘ，ｙ），则 ３ｘ
＋
３ｙ
＝
０，取 ｘ
＝
１，则 ｙ
＝－
１，则与 ａ
－
ｂ垂直
的非零向量可以为 ｃ
＝
（１，
－
１）．
１４．【答案】　７
１０
【解析】　设５处水样监测点分别为 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，从中随机选择 ３处有 ＡＢＣ，ＡＢＤ，ＡＢＥ，ＡＣＤ，
ＡＣＥ，ＡＤＥ，ＢＣＤ，ＢＣＥ，ＢＤＥ，ＣＤＥ，共 １０种情况，其中 Ａ，Ｂ同时入选的有 ＡＢＣ，ＡＢＤ，ＡＢＥ，共 ３
种情况，故 Ａ，Ｂ不同时入选的概率 Ｐ
＝
１
－
３
１０
＝７
１０
．
１５．【答案】　１
【解析】　由 （
槡
２ａ
－
ｂ）ｔａｎＢ＝
ｂｔａｎＣ和 正 弦 定 理，得 （
槡
２ｓｉｎＡ
－
ｓｉｎＢ）ｔａｎＢ＝
ｓｉｎＢｔａｎＣ，
则有（
槡
２ｓｉｎＡ
－
ｓｉｎＢ）
ｓｉｎＢ
ｃｏｓＢ
＝
ｓｉｎＢｓｉｎＣ
ｃｏｓＣ
，整理，得槡
２ｓｉｎＡｃｏｓＣ
＝
ｓｉｎＢｃｏｓＣ
＋
ｃｏｓＢｓｉｎＣ
＝
ｓｉｎ（Ｂ
＋
Ｃ）
＝
ｓｉｎＡ，则 ｃｏｓＣ
＝
槡
２
２，∴Ｃ
＝
π
４
．又∵ａ
＝
槡
２ｃ，∴ｓｉｎＡ
＝
槡
２ｓｉｎＣ
＝
１，∴Ａ
＝
π
２
，∴Ｂ
＝
π
４
，∴ｂ
＝
ｃ，
∴ｂ
ｃ
＝
１．
１６．【答案】　槡
１０
３
【解析】　不妨设点 Ｐ在第二象限，直线 ＡＰ的方程为 ｙ
＝
ｘ
＋
ａ，联立
ｙ
＝
ｘ
＋
ａ，
ｙ
＝－
ｂ
ａ
ｘ，
{
得点 Ｐ的纵坐
标ｙ
Ｐ＝ａｂ
ａ
＋
ｂ
；联立
ｙ
＝
ｘ
＋
ａ，
ｙ
＝ｂ
ａ
ｘ，
{
得点 Ｑ的纵坐标 ｙ
Ｑ＝ａｂ
ｂ
－
ａ
．由Ａ为ＰＱ的三等分点，可知 ｙ
Ｑ＝－
２ｙ
Ｐ
，则
有ａｂ
ｂ
－
ａ
＝－
２ａｂ
ａ
＋
ｂ
，整理，得 ａ
＝
３ｂ，则 ａ
２
＝
９（ｃ
２
－
ａ
２
），故 Ｃ的离心率 ｅ
＝ｃ
ａ
＝
槡
１０
３．
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