河南省2022-2023学年高三年级TOP二十名校四月冲刺考（一）理科数学参考答案和解析

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【高三理科数学参考答案　（第 １　　　　页　共８页）】
２０２２
－
２０２３下学年高三年级 ＴＯＰ二十名校四月冲刺考（一）
高三理科数学参考答案
１．【答案】　Ｂ
【解析】　Ａ
＝ｘ｜ｘ（ｘ
－
２）＜０
{ } ＝ｘ｜０＜ｘ＜２
{ } ，则 Ａ
∩Ｂ
＝１
{ } ．故选 Ｂ．
２．【答案】　Ｂ
【解析】　设复数 ｚ，
－
ｉ，ｉ在复平面内对应的点分别为 Ｚ（ｘ，ｙ），Ａ（０，
－
１），Ｂ（０，１），则 ｜ｚ
＋
ｉ｜
＝
｜ｚ
－
ｉ｜
的几何意义是 Ｚ到Ａ的距离和 Ｚ到Ｂ的距离相等，则 ｚ在复平面内对应的点（ｘ，ｙ）满足 ｙ
＝
０．故
选Ｂ．
３．【答案】　Ａ
【解析】　ｙ
＝
ｃｏｓ
２ｘ
－
π
２
( )
＝
ｓｉｎ２ｘ．令ｓｉｎ２ｘ
＝
±１，则 ２ｘ
＝
π
２
＋
ｋ
π
（ｋ
∈Ｚ），即 ｘ
＝
π
４
＋
ｋ
π
２（ｋ
∈Ｚ），故对
称轴可以是直线 ｘ
＝
π
４
．故选 Ａ．
４．【答案】　Ｄ
【解析】　由函数模型 Ｕ（ｔ）
＝－
Ｕ
０
ｌｎＫｔ，当 ｔ
＝
５０时，Ｕ（ｔ）
＝
１５，可得 １５
＝－
２０ｌｎ（５０Ｋ），即 １５
＝－
２０ｌｎ
５０
－
２０ｌｎＫ
①．设血液尿酸浓度达到正常值 ７时，摄入天数为 ｔ′，则 ７
＝－
２０ｌｎ（ｔ′Ｋ），即 ７
＝－
２０ｌｎｔ′
－
２０ｌｎＫ
②，
②－
①可得－
８
＝－
２０ｌｎｔ′
５０
，即 ｌｎｔ′
５０
＝２
５
，则 ｔ′
５０
＝
ｅ
２
５，ｔ′
＝
５０ｅ
２
５≈７４．５．故选 Ｄ．
５．【答案】　Ａ
【解析】　依题意，每个兴趣小组采集 ３处水样，每处水样至少有 １个兴趣小组进行采集，可分为
两步．第一步，甲组进行采样，有 Ｃ
３
５＝
１０种方法；第二步，乙组进行采样，有 Ｃ
２
２
×
Ｃ
１
３＝
３种方法，所
以共有 １０
×
３
＝
３０种方法．故选 Ａ．
６．【答案】　Ａ
【解析】　由Ａ（３，槡
２３）在 ｙ
２＝
２ｐｘ上，得 １２
＝
２ｐ
×
３，解得 ｐ
＝
２，则 Ｆ（１，０），直线 ＡＦ的斜率 ｋ
＝槡
２３
３
－
１
＝
槡
３，倾斜 角为 ６０°．如 图，过点 Ａ作ｌ的垂线，垂足为 Ｈ．由抛物线的定义可知 ｜ＡＦ｜
＝｜ＡＨ｜．
在Ｒｔ
△ＡＨＢ中，
∠ＢＡＨ
＝
６０°，∴ ｜ＡＢ｜
＝
２｜ＡＨ｜，∴ ｜ＢＦ｜
＝｜ＡＢ｜
－
｜ＡＦ｜
＝｜ＡＨ｜，∴ ｜ＡＦ｜
＝｜ＢＦ｜．
故选 Ａ．
７．【答案】　Ｄ
【解析】　在△Ａ
１
ＢＣ
１中，因为 Ｍ，Ｎ分别为 Ａ
１
Ｂ，Ａ
１
Ｃ
１的中点，所以 ＭＮ
∥ＢＣ
１
，又 ＢＣ
１
∥ＡＤ
１
，所以
ＭＮ
∥ＡＤ
１
，故 Ａ选项正确；同理，ＭＰ
∥ＢＤ，ＭＮ
∥ＢＣ
１
，则 ＭＰ
∥平面 ＢＣ
１
Ｄ，ＭＮ
∥平面 ＢＣ
１
Ｄ，所以
【高三理科数学参考答案　（第 ２　　　　页　共８页）】
平面 ＭＮＰ
∥平面 ＢＣ
１
Ｄ，故 Ｂ选项正确；因为 ＭＮ
∥ＡＤ
１
，ＡＤ
１
⊥ＣＤ，所以 ＭＮ
⊥ＣＤ，故 Ｃ选项正确；
取ＢＤ的中点 Ｅ，则∠Ａ
１
ＥＣ
１即为二面角 Ａ
１
－
ＢＤ
－
Ｃ
１的平面角，易知∠Ａ
１
ＥＣ
１
≠９０°，则平面 Ａ
１
ＢＤ
与平面 ＢＣ
１
Ｄ不垂直，又平面 ＭＮＰ
∥平面 ＢＣ
１
Ｄ，故平面 ＭＮＰ与平面 Ａ
１
ＢＤ不垂直，故 Ｄ选项错
误．故选 Ｄ．
８．【答案】　Ｄ
【解析】　在△ＡＢＣ中，｜ＡＣ｜
＝｜ＢＣ｜
＝
槡
５．如图，当公共弦 ＡＢ最大，即 ＡＢ为圆 Ｃ′的直径时，
∠ＡＣＢ最大．此时在 Ｒｔ
△ＣＣ′Ａ中，｜ＡＣ｜
＝
槡
５，｜ＡＣ′｜
＝
１，｜ＣＣ′｜
＝｜ＡＣ｜
２
－
｜ＡＣ′｜
槡２＝
２．故选 Ｄ．
９．【答案】　Ａ
【解析】　设选择与甲进行比赛且获胜的业余棋手人数为 Ｘ，选择与乙进行比赛且获胜的业余棋
手人数为 Ｙ；设选择与甲进行比赛的业余棋手人数为 ｎ，则选择与乙进行比赛的业余棋手人数为
３２
－
ｎ．Ｘ所有可能的取值为 ０，１，２，…，ｎ，则 Ｘ～Ｂｎ，
１
３
( )
，Ｅ（Ｘ）
＝ｎ
３
；Ｙ所有可能的取值为 ０，１，２，
…，３２
－
ｎ，则 Ｙ～Ｂ３２
－
ｎ，
１
４
( )
，Ｅ（Ｙ）
＝
３２
－
ｎ
４，获胜的业余棋手总人数的期望 Ｅ（Ｘ
＋
Ｙ）
＝
Ｅ（Ｘ）
＋
Ｅ
（Ｙ）
＝ｎ
３
＋
３２
－
ｎ
４＝
ｎ
＋
９６
１２ ≥１０，解得 ｎ
≥２４．故选 Ａ．
１０．【答案】　Ｂ
【解析】　由ａ
１＝
１，ａ
４＝
４，ａ
２是ａ
１与ａ
４的等比中项，可知 ａ
２＝
±２．若ａ
２＝
２，由 ａ
１＝
ａ
５＝
１，可知 ａ
６
＝
２，由 ａ
３＝－
３，可知 ａ
７＝－
３，则 ａ
８＝
ａ
４＝
４，则数列 ａ
ｎ
{ } ：１，２，
－
３，４，１，２，
－
３，４，…，是以 ４为周期
的数列，易知前 ｎ项和无最大值．若ａ
２＝－
２，同理可得数列 ａ
ｎ
{ } ：１，
－
２，
－
３，４，１，
－
２，
－
３，４，…，则
数列 Ｓ
ｎ
{ } 是以 ４为周期的数列，且 Ｓ
１＝
１，Ｓ
２＝－
１，Ｓ
３＝－
４，Ｓ
４＝
０，所以 Ｓ
ｎ的最大值 Ｓ
＝
１．故选 Ｂ．
１１．【答案】　Ｄ
【解析】　如图，将圆台 Ｏ
１
Ｏ补成圆锥 ＰＯ．设圆台 Ｏ
１
Ｏ的母线长为 ｌ，则 ｌ
２＝
ｈ
２
＋
（Ｒ
－
ｒ）
２
，等腰梯
形ＡＢＣＤ为过两母线的截面．设ＰＣ
＝
ｘ，
∠ＡＰＢ
＝
θ
，由 ｒ
Ｒ＝ｘ
ｘ
＋
ｌ
，则有 ｘ
＝ｒｌ
Ｒ
－
ｒ
，则 Ｓ
＝
Ｓ
△ＰＡＢ
－
Ｓ
△ＰＣＤ ＝
１
２
［（ｘ
＋
ｌ）
２
－
ｘ
２
］ｓｉｎ
θ
＝Ｒ
＋
ｒ
２（Ｒ
－
ｒ）
ｌ
２
ｓｉｎ
θ
．当ｈ
≥Ｒ
－
ｒ时，
θ≤９０°，当 ｓｉｎ
θ
最大时，即截面为轴截面时，
面积最大，则 Ｓ的最大值为（Ｒ
＋
ｒ）ｈ．当ｈ＜Ｒ
－
ｒ时，
θ
＞９０°，当 ｓｉｎθ
＝
１时，截面面积最大，则 Ｓ的
最大值为 Ｒ
＋
ｒ
２（Ｒ
－
ｒ）
ｌ
２＝
（Ｒ
＋
ｒ）［ｈ
２
＋
（Ｒ
－
ｒ）
２
］
２（Ｒ
－
ｒ）．故选 Ｄ．
【高三理科数学参考答案　（第 ３　　　　页　共８页）】
１２．【答案】　Ｃ
【解析】　ａ
＝
ｌｎ２．４＞０，ｂ
＝
ｌｏｇ
３
２．８＞０，ａ
ｂ＝ｌｎ２．４
ｌｏｇ
３
２．８
＜
ｌｎ２．４
ｌｏｇ
３
ｅ＝
ｌｎ２．４
×
ｌｎ３＜ｌｎ２．４
＋
ｌｎ３
２
( )
２
＝ｌｎ７．２
２
( )
２
＝
（ｌｎ ７．
槡２）
２
＜（ｌｎｅ）
２＝
１，则 ａ＜ｂ．ｃ
＝
ｌｇ５．７＜ｌｇ２．４
２＝
ｌｎ２．４
２
ｌｎ１０ ＝
２ｌｎ２．４
ｌｎ１０ ＝ｌｎ２．４
槡
ｌｎ １０
因
为槡
ｌｎ １０＞ｌｎｅ＞１，所以 ｃ＜ｌｎ２．４
＝
ａ，则有 ｃ＜ａ＜ｂ．故选 Ｃ．
１３．【答案】　（１，
－
１）（答案不唯一，横、纵坐标互为相反数即可）
【解析】　由题意可知 ａ
－
ｂ
＝
（３，３），设 ｃ
＝
（ｘ，ｙ），则 ３ｘ
＋
３ｙ
＝
０，取 ｘ
＝
１，则 ｙ
＝－
１，则与 ａ
－
ｂ垂直
的非零向量可以为 ｃ
＝
（１，
－
１）．
１４．【答案】　－
１
【解析】　当ｘ＞０时，ｆ′（ｘ）
＝１
ｘ
＋
１
．当ｘ＜０时，ｆ′（ｘ）
＝－ １
ｘ
＋
１
，根据导数的几何意义结合图象，不妨
设ｘ
１
＜０，ｘ
２
＞０．因为曲线 ｆ（ｘ）在点 Ａ，Ｂ处的两条切线互相垂直，所以－１
ｘ
１
＋
１
·１
ｘ
２
＋
１
＝－
１，整理得
ｘ
１
ｘ
２
＋
ｘ
１
＋
ｘ
２＝
０，所以 １
ｘ
１
＋
１
ｘ
２
＝－
１．
１５．【答案】　槡
１０
３
【解析】　不妨设点 Ｐ在第二象限，直线 ＡＰ的方程为 ｙ
＝
ｘ
＋
ａ，联立
ｙ
＝
ｘ
＋
ａ，
ｙ
＝－
ｂ
ａ
ｘ，
{
得点 Ｐ的纵坐标 ｙ
Ｐ＝
ａｂ
ａ
＋
ｂ
；联立
ｙ
＝
ｘ
＋
ａ，
ｙ
＝ｂ
ａ
ｘ，
{
得点 Ｑ的纵坐标 ｙ
Ｑ＝ａｂ
ｂ
－
ａ
．由Ａ为ＰＱ的三等分点，可知 ｙ
Ｑ＝－
２ｙ
Ｐ
，则有 ａｂ
ｂ
－
ａ
＝
－
２ａｂ
ａ
＋
ｂ
，整理，得 ａ
＝
３ｂ，则 ａ
２＝
９（ｃ
２
－
ａ
２
），故 Ｃ的离心率 ｅ
＝ｃ
ａ＝
槡
１０
３．
１６．【答案】　３
【解析】　设∠ＡＢＣ
＝
θ
，
θ∈（０°，１８０°）．在△ＡＢＣ中，由余弦定理得 ＡＣ
２
＝
ＡＢ
２
＋
ＢＣ
２
－
２ＡＢ·ＢＣｃｏｓ
θ
＝
３
－
槡
２２ｃｏｓ
θ
，由正弦定理得 １
ｓｉｎ
∠ＡＣＢ
＝ＡＣ
ｓｉｎ
θ
，则 ｓｉｎ
∠ＡＣＢ
＝
ｓｉｎ
θ
ＡＣ．在△ＡＣＤ中，ＡＤ
＝
槡
２ＣＤ，
∠ＡＤＣ
＝
４５°，则∠ＡＣＤ
＝
π
２
，ＣＤ
＝
ＡＣ．在△ＤＣＢ中，由余弦定理得 ＢＤ
２＝
ＣＤ
２
＋
２
－槡
２２ＣＤ·ｃｏｓπ
２
＋
∠ＡＣＢ
( )
＝
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