2023届河南省TOP二十名校高三下学期猜题大联考（一）理数答案和解析
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【高三理科数学参考答案 （第 １ 页 共９页）】
２０２２
－
２０２３下学年高三年级 ＴＯＰ二十名校猜题大联考（一）
高三理科数学参考答案
１．【答案】 Ｄ
【解析】 依题可知：集合 Ｍ＝ｘｘ
≥３
２
{ }
，Ｎ
＝ｘ｜ｘ＜２或ｘ＞３
{ }，所以选择 Ｄ．
２．【答案】 Ｂ
【解析】 因 为 ｚ
＝
３
＋
ａｉ
２
＋
ｉ
＝
６
＋
ａ
＋２ａ
－
３
( ) ｉ
５，又 复 数 ｚ在 复 平 面 内 所 对 应 的 点 在 第 四 象 限，所 以
６
＋
ａ＞０
２
ａ
－
３＜０
{
，解得－
６＜ａ＜
３
２
，因此 ａ槡
＜ ３是－
６＜ａ＜
３
２
必要不充分条件，故答案为 Ｂ．
３．【答案】 Ｃ
【解析】 设直线 ＡＢ的倾斜角为 θ
，ＡＦ
ＢＦ
＝
１
＋
ｃｏｓ
θ
１
－
ｃｏｓ
θ
＝１
３
，解得 ｃｏｓ
θ
＝－
１
２
，又因为 θ∈０，
π
[ ) ，所
以θ
＝
２
π
３．
４．【答案】 Ｃ
【解析】 因为周期性声音函数是一系列形如 ｙ
＝
Ａｓｉｎ
ω
ｘ的简单正弦型函数之和，每一个函数 ｙ
＝
Ａｓｉｎ
ω
ｘ都是奇函数，所以声音函数是奇函数，Ａ选项错误；
因为 ｆｘ
( ) ＋
ｆ
π
－
ｘ
( ) ＝
２ｓｉｎｘ，所以 ｆｘ
( ) ＋
ｆ
π
－
ｘ
( ) ＝
０不恒成立，所以 Ｂ选项错误
根据“这个声音的频率 ｆ是这些正弦型函数中的最低频率，而且其他函数的频率都是 ｆ的整数
倍”，又 ｆ
＝ω
２
π所以 Ｃ选项正确；
因为
ｓｉｎｘ
≤１
ｓｉｎ２
ｘ
≤１
{
，所以 ｓｉｎｘ
＋
１
２
ｓｉｎ２ｘ
≤３
２
，而
ｓｉｎｘ
＝
１
ｓｉｎ２
ｘ
＝
１
{
无解，所以 Ｄ选项错误；故答案为 Ｃ．
５．【答案】 Ｄ
【解析】 因为只需考虑从五个位置中选出两个位置放数字 １、２，则 ｎ（Ａ）
＝
Ｃ
２
５
＝
１０个，ｎ（ＡＢ）
＝
４，
所以 Ｐ Ｂ｜Ａ
( ) ＝
ｎＡＢ
( )
ｎＡ
( ) ＝４
１０
＝２
５
，故答案为 Ｄ．
６．【答案】 Ｂ
【解析】 设该二阶等差数列为 ａ
ｎ
{ }，从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列
ｂ
ｎ
{ }，其中 ｂ
１
＝
２，公差为 ２；所以 ａ
１３
＝
ａ
１
＋
１２ｂ
１
＋
ｂ
１２
( )
２
＝
１
＋
１２２
＋
２４
( )
２
＝
１５７．
７．【答案】 Ｄ
【解析】 因为 ｓｉｎ α
＋
π
６
( )
－
ｃｏｓ
α
＝４
５
，所以槡
３
２ｓｉｎα
－
１
２
ｃｏｓ
α
＝４
５
，即 ｓｉｎ α
－
π
６
( )
＝４
５
，所以 ｃｏｓ
α
＋
π
３
( )
＝
ｃｏｓ α
－
π
６
( )
＋
π
２
( )
＝－
ｓｉｎ α
－
π
６
( )
＝－
４
５
．故选择 Ｄ．
８．【答案】 Ｂ
【解析】 由ｅ
１
－
ｅ
２＝
槡
３得ｅ
１
、ｅ
２夹角为 １２０°，设ｅ
１
＝
ＯＡ
→
，ｅ
２
＝
ＯＢ
→
，２ｅ
２
＝
ＯＤ
→
，ａ
＝
ＯＣ
→
如下图，则点 Ｃ
在以点 Ｄ为圆心，半径为 １的圆上运动，所以当 Ａ、Ｄ、Ｃ三点共线时，最小值为槡
７
－
１，故答案为 Ｂ．
【高三理科数学参考答案 （第 ２ 页 共９页）】
９．【答案】 Ａ
【解析】 因为 ｆ（２ｘ
＋
２）的图象关于 ｘ
＝－
１
２
对称，所以 ｆ２ｘ
＋
２
( ) ＝
ｆ（２－
ｘ
－
１
( ) ＋
２）
＝
ｆ
－
２ｘ
( ) ，于是 ｆ
ｔ
＋
２
( ) ＝
ｆ
－
ｔ
( ) ，所以 ｆｘ
( ) 的周期为 ４，所以 ｆ２０２３
( ) ＝
ｆ（３）
＝
ｆ
－
１
( ) ，又因为 ｆ（ｘ）是定义在 Ｒ上的奇
函数，所以 ｆ
－
１
( ) ＝－
ｆ１
( ) ＝－
１
．故答案为 Ａ．
１０．【答案】 Ａ
【解析】 根据题意三棱锥 Ｐ
－
ＡＢＣ可以补成分别以 ＢＣ，ＡＢ，ＰＡ为长、宽、高的长方体，其中 ＰＣ
为长方体的对角线，则三棱锥 Ｐ
－
ＡＢＣ的外接球球心即为 ＰＣ的中点，要使三棱锥 Ｐ
－
ＡＢＣ的外
接球的体积最小，则 ＰＣ最小．
设ＡＢ
＝
ｘ，则 ＰＡ
＝
ｘ，ＢＣ
＝
６
－
ｘ，ＰＣ ＝３ｘ
２
－
４ｘ
＋
１２
( )
槡，所以当 ｘ
＝
２时， ＰＣ ｍｉｎ＝槡
２ ６，则有三棱
锥Ｐ
－
ＡＢＣ的外接球的球半径最小为槡
６，所以 Ｖ
ｍｉｎ
＝４
３
π
Ｒ
３
＝槡
８６
π
．
１１．【答案】 Ｂ
【解析】 当ｎ
＝
１
时，２Ｓ
１
＝
２
ａ
１
＝
３
ａ
１
－
１
，可得 ａ
１
＝
１
；
当ｎ
≥２时，２Ｓ
ｎ
＝
３
ａ
ｎ
－
１
，２Ｓ
ｎ
－
１
＝
３
ａ
ｎ
－
１
－
１ｎ
≥２
( ) ，相减得 ａ
ｎ
＝
３
ａ
ｎ
－
１ｎ
≥２
( ) ，
所以数列 ａ
ｎ
{ }是以 ３为公比的等比数列，则 ａ
ｎ
＝
３
ｎ
－
１
；
由ｆｘ
＋
１
( ) ＝
１
＋
ｆｘ
( )
１
－
ｆｘ
( ) ，ｆ２
( ) ＝
槡
２
－
１可得 ｆ１
( ) ＝
１
－
槡
２，ｆ３
( ) ＝
槡
２
＋
１，ｆ４
( ) ＝－
１
－
槡
２，ｆ５
( ) ＝
１
－
槡
２
……，由此可知函数 ｆｘ
( ) 是以 ４为周期的周期函数，
所以 ｆａ
２０２３
( ) ＝
ｆ３
２０２２
( ) ＝
ｆ４
－
１
( ) ２０２２
( ) ＝
ｆ１
( ) ＝
１
－
槡
２．
１２．【答案】 Ｃ
【解析】 由已知得 ｘ
２
ｆ′（ｘ）
＋
２ｘｆ（ｘ）
＝
ｌｎｘ
设ｇ（ｘ）
＝
ｘ
２
ｆ（ｘ），则 ｇ′（ｘ）
＝
ｌｎｘ，ｆ（ｘ）
＝
ｇ（ｘ）
ｘ
２
ｆ′（ｘ）
＝
ｘｌｎｘ
－
２ｇ（ｘ）
ｘ
３，设 ｈ（ｘ）
＝
ｘｌｎｘ
－
２ｇ（ｘ），则 ｈ′（ｘ）
＝
ｌｎｘ
＋
１
－
２ｇ′（ｘ）
＝
１
－
ｌｎｘ
∴当０＜ｘ＜ｅ时，ｈ′（ｘ）＞０，ｈ（ｘ）单调递增；当 ｘ＞ｅ时，ｈ′（ｘ）＜０，ｈ（ｘ）单调递减
∴ｈ（ｘ）
≤ｈ（ｅ）
＝
ｅｌｎｅ
－
２ｇ（ｅ）
＝
ｅ
－
２
×
ｅ
２
×
１
２ｅ
＝
０，∴ｆ′（ｘ）
≤０，ｆ（ｘ）在（０，
＋
∞）上单调递减
又∵ｓｉｎ１
３
＜
１
３
＜ｔａｎ１
３
，∴ｆ
ｔａｎ１
３
( )
＜ｆ１
３
( )
＜ｆ
ｓｉｎ１
３
( )
．
１３．【答案】 ０．２
【高三理科数学参考答案 （第 ３ 页 共９页）】
【解析】 因为 ｆｘ
( ) ＝
ｘ
２
－
２ａｘ
＋
６的最小值为－
３，所以 ｆａ
( ) ＝－
ａ
２
＋
６
＝－
３，
即ａ
２
＝
９，又 ａ＞０，所以 ａ
＝
３，即根据正态分布的对称性，正态分布 Ｎ（３，
σ
２
）的正态密度曲线关于
ｘ
＝
３对称，即 Ｐ（
ξ
＞３）
＝
０．５，而 Ｐ３＜
ξ≤４
( ) ＝
０．３，所以 Ｐξ
＞４
( ) ＝
０．２，
故Ｐ（
ξ
＜２）
＝
Ｐ（
ξ
＞４）
＝
０．２，故答案为 ０．２．
１４．【答案】 －槡
３３
２
【解析】 因为函数 ｆｘ
( ) ＝
３ｓｉｎ ω
ｘ
＋
φ
( ) ω
＞０，φ＜
π
２
( )
的最小正周期为 π
，所以 ω
＝
２；又由函数
ｆｘ
( ) 的图象关于直线 ｘ
＝
π
３
对称，可得２
π
３
＋
φ
＝
π
２
＋
ｋ
π
，ｋ
∈Ｚ，且 φ＜
π
２
，所以 φ
＝－
π
６
；则 ｆｘ
( ) ＝
３ｓｉｎ ２ｘ
－
π
６
( )
，所以 ｆ
－
π
４
( )
＝－ 槡
３３
２．
１５．【答案】 ３６
ｅ
４
【解析】 （解法一）设 ｆ（ｘ
０
）
＝
０
，ｘ
０
∈ｅ
２
，ｅ
４
[ ] ，则 ｍ ｘ
０
－
槡２
＋
槡
２ｎ
－
ｌｎ ｘ
０
－
２
＝
０
ｍ
２
＋
ｎ
２表示原点 Ｏ（０，０）与点 Ｍ（ｍ，ｎ）距离的平方，由点到直线的距离公式得：
ｍ
２
＋
ｎ
２
＝
ｌｎ ｘ
０
＋
２
ｘ
０
－
槡２
( )
２
＋槡
２
( )
槡
２
２
＝
ｌｎ ｘ
０
＋
２
ｘ
槡０
( )
２
，设 ｘ
槡０＝
ｔ，ｔ
∈ｅ，ｅ
２
[ ]
ｄ（ｔ）
＝
２ｌｎｔ
＋
２
ｔ，ｄ′（ｔ）
＝
－
２ｌｎｔ
ｔ
２，当 ｔ
∈ｅ，ｅ
２
[ ] 时，ｄ′（ｔ）＜０，ｄ（ｔ）在 ｅ，ｅ
２
[ ] 单调递减
∴ｄ（ｔ）最小值 ＝
ｄ（ｅ
２
）
＝
２ｌｎｅ
２
＋
２
ｅ
２＝６
ｅ
２
，从而 ｍ
２
＋
ｎ
２的最小值为３６
ｅ
４．
（解法二）依题：方程 ｍ ｘ
－
槡２
＋
槡
２ｎ
－
２
＝
ｌｎ
ｘ在区间 ｅ
２
，ｅ
４
[ ] 上有解，设 ｈｘ
( ) ＝
ｍ ｘ
－
槡２
＋
槡
２ｎ
－
２
，ｇ
ｘ
( ) ＝
ｌｎ
ｘ，即函数 ｈｘ
( ) 与函数 ｇｘ
( ) 的图象在区间 ｅ
２
，ｅ
４
[ ] 上有公共点．
情形 １：当 ｍ＞０时，有
ｍｅ
２
－
槡２
＋
槡
２ｎ
－
２
≤２
ｍｅ
４
－
槡２
＋
槡
２ｎ
－
２
≥４
ｍ＞０
{
，所以点 Ｍ ｍ，ｎ
( ) 所在平面区域如图 １所示，于是原
点Ｏ（０，０）到点 Ｍ ｍ，ｎ
( ) 的最小距离平方为 ｄ
２
１
＝
３６
ｅ
４
；
图１
情形 ２：当 ｍ＝
０时，有 ２
≤槡
２ｎ
－
２
≤４，所 以 点 Ｍ ｍ，ｎ
( ) 所 在 平 面 区 域 如 图 ２所 示，于 是 原
点Ｏ（０，０）到点 Ｍ ｍ，ｎ
( ) 的最小距离平方为 ｄ
２
２
＝
８；
标签： #大联考
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