黑龙江省鹤岗市第一中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题含答案

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2022-2023 学年度下学期高一期中考试
数学试题
考试时间：120 分钟 分值：120 分
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和
答题卡相应位置上。将条形码按位置正向粘贴。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应区域上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题（共 8 题，每题 5 分）
1．已知复数
z
满足 ，则 （ s）
A．2 B． C．3 D．5
2．在
△ABC
中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ．若 ， ， ，则
（ss）．
A． B． C． D．
3．已知
⃗
AB=
(
2,3
)
，
⃗
AC=
(
3, t
)
，
⃗
AB ⊥
⃗
BC
，则 （ss）
A． B． C． D．
4．已知 是两条不同直线，若
∥
平面 ，则“
a∥b
”是“
b∥β
”的（ss）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．在矩形
ABCD
中，
M
是
BC
的中点，
N
是
CD
的中点，若
，则
λ+μ=¿
（s）
A． B．1 C． D．
6．如图，用斜二侧画法得到
△ABC
的直观图为等腰
直角 △A'B'C'
，其
中 ，则
△ABC
的面积为（ss）
A．1 B．2 C． D．
7．已知
△ABC
的角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ，
，则 （ss）
A．4 B．6 C． D．
8．著名的古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定
理：把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上、
下底面和侧面相切（该球也被称为圆柱的内切球），那么此时圆柱的内切球体积与圆
柱体积之比为定值，则该定值为（ss）．
A． B． C． D．
二、多选题（共 4 题,每题 5 分,全部选对得 5 分,部分选对得 2 分,有选错的得 0 分）
9．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则以
下正确的是（ss）
A． B． C． D．
10．对于
△ABC
，有如下判断，其中正确的判断是（）
A．若 ，则
△ABC
为等腰三角形.
B．若
A>B
，则 .
C．若
A=30°
， ，
a=3
，则
△ABC
有两解.
D．若
A=60 °
，
a=2
，则
△ABC
面积的最大值为
11．下列说法正确的是（ s）
A．向量
⃗
e1=
(
2, −3
)
，
⃗
e2=
(
1
2,− 3
4
)
能作为平面内所有向量的一组基底
B．已知
△OAB
中，点
P
为边
AB
的中点，则必有
⃗
OP=1
2
(
⃗
OA+
⃗
OB
)
C．若
⃗
PA ⋅
⃗
PB=
⃗
PB ⋅
⃗
PC=
⃗
PC ⋅
⃗
PA
，则
P
是
△ABC
的垂心
D．若
G
是
△ABC
的重心，则点
G
满足条件
⃗
GA +
⃗
GB+
⃗
CG=
⃗
0
12．如图所示，一圆锥的底面半径为 ，母线长为 ， 为圆 锥
的一条母线， 为底面圆的一条直径， 为底面圆的圆心， 设
，则（ss）
A．过 的圆锥的截面中，
△SAB
的面积最大
B．当
λ=1
2
时，圆锥侧面的展开图的圆心角为
π
C．当
λ=1
3
时，由 点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到 点的细绳长度最小值为
❑
√
3r
D．当
λ=1
4
时，点 为底面圆周上一点，且 ，则三棱锥 的外接球的表
面积为
三、填空题（共 4 题，每题 5 分）
13．在复平面内，复数 与 所对应的向量分别为
⃗
O A
和
⃗
OB
，其中 为坐标原点，
则
⃗
AB
对应的复数为______.
14．已知向量
⃗
a
，
⃗
b
满足
|
⃗
a
|
=4
，
|
⃗
b
|
=1
，
|
⃗
a+2
⃗
b
|
=2❑
√
3
，则向量
⃗
a
，
⃗
b
的夹角为____
15．已知一圆柱的轴截面为正方形，母线长为 ，在该圆柱内放置一个棱长为
a
的正
四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则
a
的最大值为________．
16. 已知
△ABC
的面积等于 1，若
BC=1
，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值
时，
sin A=¿
______
四、解答题（17 题 10 分，18 至22 题每题 12 分）
17．（10 分）已知向量
⃗
AB=（sin θ，cos θ −2 sin θ）
，
⃗
CD=
(
1,2
)
.
（1）已知
C(3,4)
，求点坐标；
（2）若
⃗
AB / /
⃗
CD
，求
tanθ
的值.
18．（12 分）如图所示，圆锥
SO
的底面圆半径
OA =1
，母线
SA=3
.
(1)求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；
(2)过点
O
在圆锥底面作
OA
的垂线交底面圆圆弧于点
P
，设线段
SO
中点为
M
，求异面
直线
AM
与
PS
所成角的余弦值.
19．（12 分）如图，在三棱柱
ABC
－
A1B1C1
中，
E
，
F
，
G
，
H
分别是
AB
，
AC
，
A1B1
，
A1C1
的中点．求证：
(1)
B
，
C
，
H
，
G
四点共面；
(2)平面
EFA1
平面
BCHG
.
20．（12 分）在
△ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，且满足：
(b − a)(sin B+sin A)=c(❑
√
3 sin B −sin C)
(1)求角
A
的大小；
(2) 已知①，②，③，
在这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决该问题:
已知_________，_________，且
△ABC
存在，求
△ABC
的面积．
21．（12 分）如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，
E
为棱 的中
点，平面 与棱 交于点
F
．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：
F
为 的中点；
(3)在棱
AB
上是否存在点
N
，使得 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，
说明理由．
22．（12 分）如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地，其中
OA=3 km
，
OB=3❑
√
3 km
，
∠AOB=90 °
．物业管理部门拟在中间开挖一个三角形人工湖 ，其
中 ， 都在边 上（ ， 均不与 重合， 在 ， 之间），且 ．
(1)若 在距离
A
点
1 km
处，求点 ，
N
之间的距离；
(2)设
∠BON =θ
，
① 求出
△OMN
的面积
S
关于
θ
的表达式；
②为节省投入资金，三角形人工湖
OMN
的面积要尽
可能小，试确定
θ
的值，使
△OMN
得面积最小，并
求出这个最小面积．
参考答案：
1．B
【详解】因为 ，所以 ，
所以 .
故选：B
2．B
【详解】因为 ，所以 ．
故选：B
3．A
【详解】由题意得
⃗
BC=
⃗
AC−
⃗
AB=
(
3, t
)
−
(
2,3
)
=
(
1,t − 3
)
，
故
⃗
AB ⋅
⃗
BC=
(
2,3
)
⋅
(
1,t −3
)
=2+3
(
t −3
)
=3t −7=0
，解得 .
故选：A
4．D
【详解】若 平面 ， ，则 或，故充分性不成立；
若 平面 ， ，则 或相交或 异面，故必要性不成立；
所以若 平面 ，则“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
5．D
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