黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期10月月考试题+数学+含答案

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哈师大附中 2023 级十月份月考数学试卷
第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目
要求的）
1．已知集合 ， ，则集合 （）
A． B． C．D．
2．已知全集为 ，集合 ， 满足 ，则下列运算结果为 的是（）
A．B．C．D．
3．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买 黄金，售货员先将 的砝码
放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将 的砝码放在天平右盘中，再取出
一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（
）
附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有 ，其中 、 分别为左、右盘中物体质量， 、
分别为左右横梁臂长．
A．等于 B．小于 C．大于 D．不确定
4．哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一，即所谓的“ ”问题.1966 年，我国数学家陈景润
证明了“ ”成立.哥德巴赫猜想的内容是“每一个大于 2的偶数都能写成两个质数之和”，则该猜
想的否定为（）
A．每一个小于 2的偶数都不能写成两个质数之和
B．存在一个小于 2的偶数不能写成两个质数之和
C．每一个大于 2的偶数都不能写成两个质数之和
D．存在一个大于 2的偶数不能写成两个质数之和
5．已知 ，则 的最小值为（）
A．6 B．C．D．4
6．如图在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，
颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一
个几何解释，这个说法正确的是（）
A．如果 ,那么
B．如果 ,那么
C．对任意正实数 和 ，有 ， 当且仅当 时等号成立
D．对任意正实数 和 ，有 ,当且仅当 时等号成立
7．政治书上讲，“有使用价值的东西不一定有价值，有价值的东西一定有使用价值”，如果把有使用
价值的东西看作集合 ，把有价值的东西看作集合 ，那么它们的关系是（）
A．B．C．D．
8．现设计一个两邻边的长度分别为 的矩形广告牌，其面积为 ，且 ，则当该广告牌的
周长最小时， （）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、选择题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分）
9．下列命题为真命题的是（）
A．若 ，且 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
10．如图是二次函数 图像的一部分，图像过点
，对称轴为 ，给出下面四个结论正确的为（）
A．B．C．D．
11．当 时，使得不等式 恒成立的充分不必要条件是（）
A．B．
C．D．
12．若 ， ，且 ，则下列不等式恒成立的是（）
A．B．
C．D．
第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
三、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分）
13．设 ， ，若 ，求实数 组成的集合的子集个数有
.
14．若 ，且 ，则 的取值范围是 .
15．已知 ， ，则 的取值范围是．
16．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为 ，
， ，三角形的面积 可由公式 求得，其中 为三角形周长的一半，这个
公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 ， ，则此三角形面积的最
大值为.
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.（本小题满分 10 分）解下列不等式：
（I） （II）
18.（本小题满分 12 分）已知集合 ， ，
（I）若 ，求 、 ；
（II）若 ，求实数 的取值范围.
19. （本小题满分 12 分）已知集合 ， ．
（I）若“命题 ， ”是真命题，求 的取值范围．
（II）若“命题 ， ”是真命题，求 的取值范围．
20.（本小题满分 12 分）已知函数 .
（I）设 ，若关于 的不等式的解集为 ，且 的充分不必要条
件是 ，求 的取值范围；
（II）方程 有两个实数根 ，
i）若 均大于 ，试求 的取值范围；
ii）若 ，求实数 的值．
21．（本小题满分 12 分）某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体
造型的平面图是由两个相同的矩形 ABCD 和EFGH 构成的十字形地域，四
个小矩形加一个正方形面积共为 200 平方米．计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为每平方米
4200 元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米 210 元，再在四个
角上铺设草坪，造价为每平方米 80 元．
（I）设 AD 长为 x米，总造价为 元，试建立 关于 x的表达式；
（II）当 x为何值时，总造价 最小，并求出这个最小值.
22.（本小题满分 12 分）已知函数 .
（I）若对 ， 恒成立，求实数
a
的取值范围；
（II）若 时，函数 的最小值为
−2
，求实数
a
的值；
（III） ，使 成立，求实数
a
的取值范围.
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