黑龙江省大庆铁人中学2023-2024学年高一上学期期中考试 数学答案

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考试时间：2023 年 11 月 ___
1
铁人中学 2023 级高一上学期期中考试
数学答案
一．单项选择题（40 分）
二．多项选择题（20 分）
三．填空题（20 分）
13.
3
2
14.
12
15.
4
03


，
16.
9,
4



四．解答题（70 分）
17.（Ⅰ）集合
 
34A x x  
，
当
4m
时，
 
35B x x  
，
 
35
U
C B x x x  或
，
；
（Ⅱ）由题可知
 
34
U
C A x x x   或
，
由
U
B C A
31 m
或
41m
解得
45mm  或
，所以
m
的取值范围为
 
,54,
.
18．（Ⅰ）设
AN
的长为 x米（
>4x
），
∵
ABCD
是矩形，∴
DN DC
AN AM
，∴
6
4
x
AM x
，∴
2
6( 4)
4
AMPN
x
S AN AM x
x
 
；
（Ⅱ）令
2
6
4
x
yx
，
4( 0)t x t 
，则
4xt
，∴
2
6( 4) 16
6 8 96
t
yt
tt

 


当且仅当
16 ( 0)tt
t

，即
4t
时，等号成立，
此时
8AN
米，
12AM
米，最小面积为 96 平方米.
19. （Ⅰ）（1）当
1m
时，
 
2
2
( ) 2 4 1 5f x x x x  
，
()fx
在区间
[ 2,1]
上单调递减，在
[1,2]
上单调递增，
所以
()fx
在区间
[ 2,2]
上的最大值为
 
24f
，最小值为
 
15f
.
（Ⅱ）因为
2
( ) (1 3 ) 4f x mx m x  
，
所以由
( ) 1fx
可得：
2(1 3 ) 4 1mx m x  
，即
2(1 3 ) 3 0mx m x  
，
①当
0m
时，不等式变为
30x
，所以
3x
，不等式的解集为
 
3xx
；
当
0m
时，不等式化简为
 
3 1 0x mx  
，方程
 
3 1 0x mx  
的两根为
13x
和
2
1
xm

，
②当
0m
时，不等式化简为
 
1
30xx
m

 


，
所以
210xm
 
，所以不等式的解集为
1
xx m

或
3x
；
③当
0m
时，不等式化简为
 
1
30xx
m

 


，
当
1
3
m
时，
13
m

，不等式的解集为
13xx
m

 


；
当
1
=3
m
时，
13
m

，不等式的解集为
；
当
10
3m 
时，
13
m

，不等式的解集为
1
3xxm

 


；
综上：当
0m
时，不等式的解集为
 
3xx
；
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
B
D
A
B
C
9
10
11
12
ACD
CD
ABC
ABD
考试时间：2023 年 11 月 ___
2
当
0m
时，不等式的解集为
1
xx m

或
3x
；
当
1
3
m
时，不等式的解集为
13xx
m

 


；当
1
=3
m
时，不等式的解集为
；
当
10
3m 
时，不等式的解集为
1
3xxm

 


；
20．（Ⅰ）将
 
2
2 3 3 6f x f x x x  
的
x
替换为
x
得
 
2
2 3 3 6f x f x x x 
，
联立
 
 
2
2
23
3 3
6
6
3
2
f x f x x x
f x f x x x
 
 
解得
 
232f x x x  
.
（Ⅱ）不等式化为： ，
即 ，
由一元二次方程
23
(3 ) 2 0
2
k
x k x  
，
 
22
3
3 4 2 1 0
2
k
kk

 


恒成立，得
方程两根为 ，
由韦达定理， ，
所以 ，
又k∈[﹣1，3]，所以 ，
所以当
0k
时，n﹣m的最小值为 1，当
3k
时，n﹣m最大值 ．
21. （Ⅰ）令
0xy
，得
   
0 0 0 0 1f f f 
，得
 
01f
令
1, 1xy 
，得
 
0 1 1 1f f f  
，得
 
10f
；
（Ⅱ）设
12
,xx
是任意两个不相等的实数，且
12
xx
，所以
21
0xx
，所以
   
2 1 2 1 1 1
f x f x f x x x f x  
   
2 1 1 1 2 1
11f x x f x f x f x x    
因为
21
0xx
，所以
 
211f x x
，所以
 
21
10f x x  
，
因此
   
2 1 2 1
0f x f x f x f x  
，即
 
fx
在
R
上为增函数；
（Ⅲ）因为
 
 
231f ax x f x 
，
 
22 1 1f ax x  
，即
 
220f ax x
又
 
10f
，所以
 
 
221f ax x f  
，又因为
 
fx
在
R
上为增函数，所以
221ax x  
在
 
1,2x
上恒成立，得
22 1 0ax x  
在
 
1,2x
上恒成立，即
2
21
axx

在
 
1,2x
上恒成立，
因为
2
2
2 1 1 11
x x x

 


，当
2x
时，
2
21
xx
取最小值
3
4
，所以
3
4
a
，
即
a
的取值范围为
3
,4




.
22. （Ⅰ）不妨设函数
 
fx
的对称中心为
 
,mn
，
因为函数
 
y f x m n  
为奇函数，所以
 
f x m n f x m n    
恒成立，
此时
log log 2
22
aa
x m x m n
x m x m
 

   
恒成立，
即
 
22
22
l 2og 2
an
mx
mx

恒成立，即
 
2
22
2
2
2
n
mx a
mx

恒成立，
所以
 
 
2
2 2 2 2
1 2 0
nn
a x m m a  
恒成立，则
 
2
2
22
10
20
n
n
a
m m a

 
，
解得
0n
，
1m
，所以函数
 
fx
的对称中心为
 
1,0
.
（Ⅱ）由（1）知函数
 
fx
的对称中心为
 
1,0
，
所以
 
20f x f x  
，
因为当
 
2,3x
时，
 
4 2 1 2 0
x x x
ffa

 


恒成立，
即
 
2,3x
，
 
 
 
3242 xxx
faf
恒成立，函数
2
1
22
x
yxx
 

，在
 
2,3
上单调递增，
当
1a
时，易知函数
 
log 2
a
x
fx x
在
 
2,3
上单调递增，
此时
 
2,3x
，使得
 
4 2 3 2
x x x
a  
恒成立，即
 
2,3x
，使得
23
42
x
xx
a
恒成立，
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