湖北省襄阳市第一中学2022-2023学年高一4月月考数学试题答案

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试卷第 1页，总 2页
襄阳一中高一年级四月月考试题参考答案（数学）
1．A 2．A 3．D 4．B 5．A 6. B 7. A 8. A 9．BCD 10．ABD 11．AB 12．BD
13．

14．
9
4
15．2 3
316．
7
25
10
5
四．解答题
17．解：（1）因为
 
3,1a
r
，所以
2 2
3 1 10a  
.
设向量
a
与
b
的夹角
，则
 
2
2cosa a b a a b a a b
  
 
10 5 10 cos 15
 
，解得
10
cos 10
.
又
 
0,
 
，所以
23 10
sin 1 cos 10
 
 
，故
sin
tan 3
cos
 
.
（2）因为
 
2a b a b
 
 
，所以
 
 
2 2
2 2 1 2 0a b a b a a b b
 
 
 
，
即
 
10 5 2 1 50 0
 
 
，解得
11
4
.
18．解(1)因为 sin α
2＋cos α
2＝6
2，两边同时平方，得 sin α＝1
2.又π
2＜α＜π，所以 cos α＝－ 3
2.
(2)因为π
2＜α＜π，π
2＜β＜π，所以－π＜－β＜－π
2，故－π
2＜α－β＜π
2.
又sin(α－β)＝－3
5，得 cos(α－β)＝4
5.cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝－ 3
2×4
5＋1
2×－3
5＝－4 3＋3
10 .
19、解：若选①，则答案为：（1）在①3asinC＝4ccosA，
由正弦定理可得 3sinAsinC＝4sinCcosA，因为 sinC≠0，所以可得 tanA＝ ，
在△ABC 中，所以 A∈（0， ），所以 sinA＝ ＝ ；………………6 分
（2）因为∠ABM＝ ，设 BM＝CM＝m，由图可得 cos∠BMC＝﹣cos∠BMA＝﹣sinA＝﹣ ，
在△BMC 中，由余弦定理可得 BC2＝BM2+CM2﹣2BM•CM•cos∠BMC，而 BC＝a＝3，
所以 18＝2m2﹣2m2（﹣ ），解得 m＝ ，在 Rt△ABM 中，c＝AB＝ ＝ ＝ ．………6 分
若选②，则答案为：（1）因为 2bsin ＝asinB，所以 2bsin ＝asinB，
由正弦定理可得 2sinBcos ＝sinAsinB＝2 sin cos sinB，
因为 sinB≠0，cos ≠0，所以 sin ＝ ，cos ＝ ，
所以 sinA＝2sin cos ＝2＝ ，………………6 分
（2）答案同选①．………………6 分
20.解：(1)证明 由正弦定理得 sin B＋sin C＝2sin Acos B，
故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)
＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，
于是 sin B＝sin(A－B)．
又A，B∈(0，π)，故 0<A－B<π，
所以 B＝π－(A－B)或B＝A－B，
因此 A＝π(舍去)或A＝2B，所以 A＝2B.
(2)解由S＝a2
4，得 1
2absin C＝a2
4，
故有 sin Bsin C＝1
2sin A＝1
2sin 2B＝sin Bcos B，
由sin B≠0，得 sin C＝cos B.
又B，C∈(0，π)，所以 C＝π
2±B.
当B＋C＝π
2时，A＝π
2；
当C－B＝π
2时，A＝π
4.
综上，A＝π
2或A＝π
4.
试卷第 2页，总 2页
21．（1）
 
2sin 2 2
6
f x x
 
 
 
 
，单调增区间
, ( )
6 3
k k k Z
 
 
 
 
 
 
（2）
4k 
或
2 3 2 3k   
解：（1）由题意，得
( )f x
的最小正周期
T
，则
2
，
2
 
( )f x
的图像过点
(0,1)
，
2sin( ) 1
6t
 
，
2t 
即
 
2sin 2 2
6
f x x
 
 
 
 
令
2 2 2 ,
2 6 2
k x k k Z
 
 
 
，解得
,
6 3
k x k k Z
 
 
 
故
 
f x
的单调增区间为
, ( )
6 3
k k k Z
 
 
 
 
 
 
（2）由（1）知
 
2sin 2 2
6
f x x
 
 
 
 
，
 
2sin 2 2
6
g x x k
 
 
 
 
5 2
, , 2 ,
12 12 6 3 3
x x
 
 
   
 
 
 
2sin 2 2
6
g x x k
 
 
 
 
若函数
( )g x
在区间
5
12 12
 
 
 
 
，
上有且只有一个零点.
则函数
sin(2 )
6
y x
 
的图像和直线
2
2
k
y
 
有且只有一个交点.
即曲线
2
sin , ,
3 3
y t t
 
 
 
 
 
与直线
2
2
k
y
 
有且只有一个交点.
22.【详解】（1）
 
π
sin cos 2 sin 4
f xx x x
 
 
，当
π,0
2
x 
 
 
 
时，
π π π
,
4 4 4
x 
 
 
 
，
2 π 2
sin
2 4 2
x
 
 
，
π
1 2 sin 1
4
x
 
 
，即
 
1 1f x 
，令
 
sin cosf x x x
 
，
则
21 sin 2x
 
，
2
sin 2 1x
 
，
 
1,1
 
，由
   
sin 2g x x f x 
，
得
 
2
21 5
12 4
y g x
 
 
 
 
 
，
 
1,1
 
，
当
1
2
时，
 
y g x
有最小值
5
4
，
当
1
 
时，
 
y g x
有最大值 1，
当
π,0
2
x 
 
 
 
时，函数
 
g x
的值域为
5,1
4
 
 
 
．
（2）当
 
0,x 
，不等式
3 1 9 1 0
3 1 9 1
x x
x x
m 
 
 
恒成立，
0x>
时，
3 1 0
x 
，
9 1 0
x 
，
 
 
2
2
3 1
3 1
x
x
m
 
恒成立，令
3x
t
，则
1t
，
 
22
2 2 2
11 2 2 2
1 1 1
1 1 1
tt t t
mt t t tt
 
   
，
又
2 2
1 1 2
11
2
tt
tt
 
，当且仅当
1
tt
即
1t
时取等号，而
1t
，
 
2
2
12
1
t
t
，即
2m
，
 
2M m m 
．又由（1）知，
 
51
4g x 
，
当
0a
时，
 
5
4a ag x a 
，
要使
 
ag x M
恒成立，只需
0 2a 
，
a
的取值范围
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