湖北省襄阳市第四中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题答案

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数学答案

1-8 DACAC CBD

9-12 ABC AD ABD ABD

13. 4 14.6n－5（n∈N*） 15. 16.

17.解：在中，已知点，，．

（1）线段 BC 的中点为，即，

故 BC 边上中线的方程为，即；

（2）直线过 B 点且 x 轴上截距是 y 轴上截距的 2 倍，

(i)若直线过原点，则直线方程为，即；

(ii)若直线不过原点，设 y 轴上截距为 m，则直线方程为，

代入 B 点解得，故直线方程为，即；

故该直线的一般式方程为或 .

18.解：（1）当直线斜率不存在时，，显然与相切；

当直线斜率存在时，可设，

由几何关系可得，解得，

故，即，

故过点且与圆相切的直线的方程为或；

（2）设，可设中点为，

因为是等腰直角三角形，

所以，

即圆心到直线距离，

解得或 7，

故直线或，

即或 .

19.解：（1）①当 n=1 时，a1=S1=1+2+1=4，

② 当 n∈N*且 n≥2 时，

，

∴ ；

（2）由（1）bn=an•2n，

① 当 n=1 时，T1=8；当 n=2 时，T2=28，

② 当 n∈N*且 n≥3 时，Tn= ，

∴2•Tn= ，

-Tn=

∴-Tn=8+22+2•23+2•24+…+2•2n- （ 2n+1 ） • 2n+1=8+22+2• （ 23+24+…+2n） -

（2n+1）•2n+1

= =12+2n+2-24-n•2n+2-2n+1，

∴ ，

由①②得，（n∈N*）

20.解：(1)设动圆圆心为点 P(x,y),

则由勾股定理得 + = + ,

化简即得圆心的轨迹 C 的方程为 =8x；

(2)证明:由题意可设直线 l 的方程为 y=kx+b(k 0)，

联立得 +2(kb-4)x+ =0，

由 =4 - >0,得 kb<2，

设点 P( , ),Q( , ),则 + =- , = ，

因为 x 轴是 PBQ 的角平分线,所以 kPB+kQB=0,

即 kPB+kQB= +

= =0,

所以 k+b=0,即 b=-k,所以 l 的方程为 y=k(x-1)，

故直线 l 恒过定点 D(1, 0)，

于是|BD|为定值且 BND 为直角三角形且|BD|为斜边，

所以 BD 中点 R 满足|NR|为定值|NR|= |BD|=1 此时点 R 的坐标为(0,0).

21.(1)证明: BM CD, 又 BM 平面 A'CD, CD 平面 A'CD, BM 平面 A'CD.

又 BM 平面 A'MB,平面 A'MB 平面 A'CD=l, l BM,

l 平面 BMDC,BM 平面 BMDC,

l 平面 BMDC.

(2) 解：假设存在点 P,

由题意知 3AM=MB,AB=4, AM=1,MB=3,

又 BC=AD= , 由勾股定理可得 CM=2 ,MD=2,

+ = , CM MD，

又平面 A'MD 平面 BMDC,平面 A'MD 平面 BMDC=MD,CM 平面 BMDC,

CM 平面 A'MD,

过点 M 作垂直于平面 BMDC 的直线 MH,以 M 点为原点,分别以 MC,MD,MH 所在直线为 x

轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则 M(0,0,0),C(2 ,0,0),D(0,2,0),A'(0, , ),

则 =(0, , ), =(2 ,0,0), =(-2 ,2,0),

设 =( , , )为平面 A'MC 的法向量, =0, =0,

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