湖北省武汉市武昌区2023届高三年级5月质量检测 数学答案

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武昌区 2023 届高三年级 5月质量检测
数学参考答案及评分细则
选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C B C B D B B BD BD ABD BCD
填空题：
13．0或1 14．
15．
16．
解答题：
17.（10 分）
解：因为cos𝐵=
，所以sin𝐵=
，
又因为sin𝐴=
<sin𝐵=
，所以𝐴<𝐵<
，故cos𝐴=
所以sin𝐶=sin(𝐴+𝐵)=sin𝐴cos𝐵+𝑐𝑜𝑠𝐴sin𝐵=
. ……………………………..（5分）
（2）由正弦定理可知：
=
，代入已知条件得
=

，解得𝑏=20，
所以𝛥𝐴𝐵𝐶的面积为𝑆=
𝑎𝑏sin𝐶=
×13×20×
=126. ……………………………..（10 分）
18.（12 分）
解：（1）因为𝑎=𝑆+𝑛，所以𝑎=𝑆+𝑛−1(𝑛≥2)，所以𝑎=2𝑎+1(𝑛≥2)，
整理得 𝑎+1=2(𝑎+1)(𝑛≥2).
又因为𝑎=3，所以当𝑛≥2时，𝑎+1=(𝑎+1)×2=2(𝑛≥2) ，
所以𝑎=2−1(𝑛≥2)，当𝑛=1时，𝑎=2不满足.
所以，𝑎=2   (𝑛=1)
2−1 (𝑛≥2). ……………………………………………………………..（4分）
（2）（i）设数列{𝑏}的公差为𝑑（𝑑>0）.
因为𝑎+𝑏,𝑎+𝑏,𝑎+
𝑏成等比数列，且𝑎=2,𝑎=3,𝑎=7，
所以(𝑎+𝑏)=(𝑎+𝑏)(𝑎+
𝑏)，即𝑑+12𝑑−13=0.
又因为𝑑>0，所以𝑑=1.
所以数列{𝑏}的通项公式为𝑏=𝑛+1
，
𝑛∈𝐍∗.…………………………………………………………..（8分）
（ii）𝑇<
.证明如下：
2 / 5
由（i）知，𝑏=𝑛+1
，
𝑛∈𝐍∗，
所以𝑇=
+
+⋯+
=
+
+⋯+
().
当𝑛=1时，𝑇=
<
；
当𝑛≥2时，𝑇=
+
+⋯+
()<
×+
×+⋯+
()=
−
+
<
，
综上：∀𝑛∈𝐍∗，𝑇<
. …………………………………………………..（12 分）
19.（12 分）
（1）证明：在𝛥𝐴𝐵𝐶中，设𝐵𝐶=2𝐴𝐵=2𝑚，因为
∠
𝐴𝐵𝐶=60，
由余弦定理可知：cos∠𝐴𝐵𝐶=()
×× =
，解得𝐴𝐶=√3𝑚.
所以𝐴𝐶+𝐴𝐵=𝐵𝐶，所以𝐴𝐵⊥𝐴𝐶.
又因为平面𝑃𝐴𝐵⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，平面𝑃𝐴𝐵∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷 =AB，𝐴𝐵⊥𝐴𝐶，𝐴𝐶⊂平面 ABC，
所以𝐴𝐶⊥平面𝑃𝐴𝐵. ……………………………………………..（4分）
（2）连 BD 交AC 于点 M，连接 PM，BQ，设 PM 交BQ 于点 H.
在△PBD 中，过 P作直线 PT//直线 BD 交BQ 的延长线于 N，
易得：PN:BM=PH:HM=1:1，所以点 H为线段 PM 中点.
在△PAC 中，因为直线 AC//平面𝛼，平面 PAC∩平面𝛼 =EF，所以直线 EF//直线 AC，且直线 EF 过点 H，所以点 E
为线段 PA 中点.
以点 A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设 AB=2.
则𝐴(0,0,0)，𝐵(2,0,0)，𝐷(−2,4,0)，𝑃1,0,√3.
因为点 E为线段 PA 中点，所以𝐸
,0,√
，由𝑃𝑄
⃗
=
𝑃𝐷
⃗
，得𝑄0,
,√
.
设平面𝐵𝐸𝑄（平面 BEF）的法向量为𝑛
=(𝑥,𝑦,𝑧)，因为𝐵𝐸
⎯
=−
,0,√
，𝐸𝐹
⎯
=
𝐴𝐶
⎯
=(0,2,0)，
由𝐵𝐸
⎯
⋅𝑛
=0，
𝐸𝐹
⎯
⋅𝑛
=0，
得−
𝑥+√
𝑧=0，
2𝑦=0，
令𝑥=1，则𝑛
=1,0,√3.
设平面𝐸𝑄𝐷（平面 PAD）的法向量为𝑛
=(𝑥,𝑦,𝑧)，因为𝐴𝑃
⎯
=1,0,√3，𝐴𝐷
⎯
=(−2,4,0)，
由𝐴𝑃
⎯
⋅𝑛
=0
，
𝐴𝐷
⎯
⋅𝑛
=0
，
得𝑥+√3𝑧=0
，
−2𝑥+4𝑦=0.令𝑧=−2，则𝑛
=2√3,√3,−2.
所以cos<𝑛
,𝑛
≥
⋅
||
⎯
|
|=0，所以二面角𝐵−𝐸𝑄−𝐷的余弦值为 0. …………………………..（12 分）
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