湖北省武汉市2024届部分学校高三年级九月调研考试+数学答案
武汉市 2024 届部分学校高三年级九月调研考试
数学试卷参考答案及评分标准
选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
D
B
A
C
C
B
ABD
BC
AD
ACD
填空题：
13.
40−
14.
22
( 1) ( 2) 5xy+ + − =
15.
4 2ln2−
16.（1）
11
24
；（ 2）
11
[4 ( ) ]
92
n
−−
解答题：
17.（10 分）解：
（1）由题意，
2 ( 2)( 1)
nn
S n a= + −
，
11
2 ( 3)( 1)
nn
S n a
++
= + −
.
两式相减得：
11
2 ( 3) ( 2) 1
n n n
a n a n a
++
= + − + −
，
即
1
( 1) ( 2) 1
nn
n a n a
+
+ = + +
.
此时
11
2 1 ( 1)( 2)
nn
aa
n n n n
+=+
+ + + +
，
即
111
2 1 1 2
nn
aa
n n n n
+= + −
+ + + +
.
有
111
21
nn
aa
nn
+++
=
++
，所以数列
1
{}
1
n
a
n
+
+
是常数列. …………5分
（2）取
1n=
，有
11
2 3( 1)aa=−
，解得
13a=
.
由（1）可得：
1
112
1 1 1
n
aa
n
++
==
++
，所以
21
n
an=+
.
1
1 1 1 1 1
()
(2 1)(2 3) 2 2 1 2 3
nn
a a n n n n
+
= = −
+ + + +
.
所以
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
( ... ) ( )
2 3 5 5 7 2 1 2 3 2 3 2 3 6 9
nn
Tn n n n
= − + − + + − = − =
+ + + +
. …………10 分
18.（12 分）解：
（1）由正弦定理得：
2sin cos 2sin sinA B C B=−
.
2sin cos 2sin( ) sinA B A B B= + −
，
2sin cos 2sin cos 2cos sin sinA B A B A B B= + −
，即
2cos sin sinA B B=
.
又
sin 0B
，故
1
cos 2
A=
.
所以
3
A
=
. …………6分
（2）
ABC
面积
11
sin ( )
22
S bc A a b c r= = + +
.
代入
7a=
和
3
A
=
，整理得：
2( ) 14bc b c= + +
.①
由余弦定理：
2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
，得：
22 49b c bc+ − =
.
即
2
( ) 3 49b c bc+ − =
，代入①，得：
2
14
( ) 3 49
2
bc bc
−−=
.
解得：
40bc =
.
所以
1sin 10 3
2
S bc A==
. …………12 分
19.（12 分）解：
（1）由题意，第一组的频率/组距为：
10.04 0.025 0.01 0.025
10 mm− − − − = −
.
样本平均数的估计值为：
10 [(0.025 ) 55 65 0.04 75 0.025 85 0.01 95] 74.5 100m m m − + + + + = +
.
样本中位数的估计值为：
0.05 0.025
70 10 76.25
0.04
−
+ =
.
所以
74.5 100 76.25m+=
，解得：
0.0175m=
. …………6分
（2）总的成绩优秀人数为：
200 10 (0.025 0.01) 70 + =
.
得到列联表为：
性别
测试成绩
合计
优秀
不优秀
男生
45
65
110
女生
25
65
90
合计
70
130
200
2
2200 (45 65 25 65) 2600
χ3.75 3.841
110 90 70 130 693
−
= =
.
所以根据小概率值
0.05
=
的独立性检验，认为男生和女生的优秀率没有差异. …………12 分
20.（12 分）解：
（1）如图，连接
,AC BD
交于点
O
，取
OD
中点
F
，连接
,,EF CF AF
.
由
AB CB=
，
AD CD=
，所以
BD
垂直平分
AC
.
由
45ABO =
，且
2AB =
，
有
1AO BO CO===
， 且
22
2DO AD AO= − =
.
所以
2
BF PE
FD ED
==
，有
EF
∥
PB
，
因为
PB
平面
PAB
，
EF
平面
PAB
，所以
EF
∥平面
PAB
.
又点
O
平分线段
BF
和
AC
，所以四边形
ABCF
是平行四边形，
有
CF
∥
AB
.
因为
AB
平面
PAB
，
CF
平面
PAB
，所以
CF
∥平面
PAB
.
由
EF CF F=
，有平面
CEF
∥平面
PAB
.
又
CE
平面
CEF
，所以直线
CE
∥平面
PAB
. …………6分
（2）连接
PO
，在
POB
和
POD
中，由
cos cosPOB POD = −
，
有
2 2 2 2 2 2
22
PO BO PB PO DO PD
PO BO PO DO
+ − + −
=−
，即
22
1 5 4 8
24
PO PO
PO PO
+ − + −
=−
.
解得：
2PO =
，满足
222
PO BO PB+=
，所以
PO BD⊥
.
又
PA PC=
，所以
PO AC⊥
，由
AC BD O=
，所以
PO ⊥
平面
ABCD
，满足
,,PO CO DO
两两垂直.
以
O
为原点，
,,OC OD OP
所在直线分别为
x
轴、
y
轴、
z
轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
有
(0,0,2)P
，
(0, 1,0)B−
，
(1,0,0)C
，
42
(0, , )
33
E
.
(0,1,2)BP =
，
( 1,0,2)CP =−
.
设平面
PBC
的法向量
( , , )n x y z=
，由
0
0
n BP
n CP
=
=
，得
20
20
yz
xz
+=
− + =
，取
(2, 2,1)n=−
.
又
42
( 1, , )
33
CE =−
，故所求角的正弦值为
82
| 2 |
|| 4 29
33
| cos , | 29
| | | | 29
99
n CE
n CE n CE
− − +
= = =
.
所以直线
CE
与平面
PBC
所成角的正弦值为
4 29
29
. …………12 分
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