湖北省十一校2023届高三第一次联考数学答案（图片版，含解析）

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2023 届高三湖北十一校第一次联考数学试题参考答案
第1页（共 6页）
2023 届高三湖北十一校第一次联考数学试题参考答案及评分细则
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
C
D
B
A
B
D
AD
ACD
ABD
ABC
1.B【解析】由题意得
 
3，P
，
 
8,0Q
，所以
 
3,0QP
，故选 B.
2.C【解析】设
biaz
，由题意得
 
2
22
22
2511 bababa
，解得
，故选 C.
3.C【解析】
   
36
11
6
5
1
18
1
0
2
CPBPAPABP ，，
，故选 C.
4.D【解析】易知
8
3
AB
EG
，由三点共线定理得
ADABAEABAG 11
6
11
3
11
8
11
3
，故选 D.
5.B【解析】
ABC
外接圆直径为
6
6
3
2
sin
r
，所以三棱锥的外接球半径为
2333 22 R
，故选 B.
6.A【解析】因为
6366
，x
，恰好取到一次最大值与一次最小值可得
2
5
632
3

，解得
74
，故选 A.
7.B 【解析】由题意可令
1BA
，所以将数列
 
n
a
逐个列举可得：
1
1a
，
3
2a
，
4
213 aaa
，
7
234 aaa
，
11
345 aaa
， 所 以
11
2
51
2
51
55
， 因 为
 
01
2
51
5
,
， 所 以
 
1211
2
51
5
，
，故
11
2
51
5
，故选 B.
8.D【解析】构造函数
 
x
e
xf
x
，易得
 
2lnfae
，
2
1
fbe
，
3
4
fce
，
   
x
e
x
x
xf 2
1
'
，所以
 
xf
在
 
1,0
递减，
 
，1
递增，易知
2
1
2ln1
，所以
ba
，
 
4
4
4
2
2lnf
lnln
ae
，因为
4ln
3
4
1
，所
以
ca
，所以
cab
，故选 D.
9.AD 【解析】平均数为
6
200
71005100
x
， 故 A正确，B错误；方差为
 
 
 
 
5136716
200
100
659
200
100 22
2.s
，故 D正确 C错误，故选 AD.
10.ACD 【 解 析 】 由 三 垂 线 定 理 知 A正 确 ， B错 误 ； 几 何 法 可 知 最 小 角 为
6
，C正 确 ；
32
11 CAPAPCPDPC
，选项 D正确.
11.ABD【解析】根据三次函数图像性质可知
AB
正确；
 
123 2bxxx'f
，
3
1
21 xx
，
3
2
221
2
2
2
1xxxx
，
所以
C
错误；若
 
xf
单调，则
0124 2b
得
33 b
，选项
D
正确，故选
ABD
.
12.ABC【解析】过
1
I
分别作
2121 FFPFPF 、、
的垂线，垂足分别为
FED 、、
，所以
aFFFFPFPF 2
2121
，
2023 届高三湖北十一校第一次联考数学试题参考答案
第2页（共 6页）
因为
cFFFF 2
21
，所以
caFF
1
，所以
axI
1
，选项 A正确；在
221 FII
中，
2
221
IFI
，由射影定
理可得
2
221 FFFIFI
，即
 
2
2
21 aacrr
，所以
ac 2
，故离心率为 2，选项 B正确；易得
1
ABF
内切
圆半径为
l
S
r2
，其中
2121 22
2
1yyayycS
，
ABal 24
，设
AB
直线方程为
amyx 2
，
3
3
3
3,m
，联立
得
 
091213 222 amayym
，
|m|
ma
yy 13
16
2
2
21
，代入可得
a
ma
|m|
m
a*a
|m|
ma
a
r2
3
2
13
13
1
624
13
16
42
2
2
2
2
， 故 C正 确 ； 设 直 线 AB 的 倾 斜 角 为
， 由 对 称 性 不 妨 设
FFI 21
， 则
2
，
23
2
,
，所以
34
，
，
31，
tan
，
tanar
1
，
tan
a
tanar
2
2
，所以
a,a
tan
tanarr 3
34
2
1
21
，选项 D错误.故选 ABC.
13.
12
【解析】利用展开式得
 
123 1
3
4C
.
14.
 
1
2
3nn
【解析】设
 
dnaan1
1
，
nn aa 3
3
可 得
da
1
， 由
 
2
483 3aaa
解 得
3d
，所以
 
1
2
3nnSn
.
15.
01333 yx
【解析】切点弦方程公式：
 
4225114 yx
，化简得
01333 yx
.
16.
4
2
e
a
或
9
3
e
a
【解析】
   
a
x
e
x
x
x
x
ae
x
x
xf
x
x
2224
333
'
，若
3
是极值点，则
2
x
e
a
x
，因为
x
x
e
x
x
x
e
22
2
'
，所以
4
2
min
2
e
x
e
a
x
；若 3不是极值点，则 3是
0
2a
x
ex
的一个根，此时
9
3
e
a
.
17.【解析】【法一】（1）通分化简可得
 
CsinAsinAsinCsinABsin 2
，
 
CAAABAB sinsinsinsinsin 2
，即
CAAABAB sinsinsinsincoscossin 22222
，
即
   
CAAABAB sinsinsinsinsin1sin1sin 22222
，
整理得
CAB sinsinsin2
，即
acb
2
，所以
cba 、、
成等比数列；································5分
【法二】由题意得
1
Csin
Asin
Asin
AsinBcosAcosBsin
，
所以
1
22
222222
c
a
a
ac
bca
a
bc
acb
b
，化简可得
 
1
2
222
c
a
ac
ab
，
2023 届高三湖北十一校第一次联考数学试题参考答案
第3页（共 6页）
通分可得
acb
2
，所以所以
cba 、、
成等比数列；················································5分
（2）由（1）可得
2
1
2
2
22
cos
22222
ac
acac
ac
acca
ac
bca
B
，所以
3
B
，
当且仅当
ca
即
ABC
为正三角形时等号成立，所以
B
的最大角为
3
.·····10 分（不写取等条件扣 1分）
18.【解析】（1）当
1n
时可得
1
11 Sa
，······················································1分
当
2n
时，由题意可得
 
nSSSS nnnn 11
，即
nSS nn
2
1
2
，
所以
 
   
2
1
11
2
1
2
1
2
2
2
1
22
nn
nnSSSSSS nnn
，即
 
2
1
nn
Sn
，
经检验，当
1n
时符合，所以
 
2
1
nn
Sn
，
*
Nn
；··········································4分
所以当
2n
时，
 
2
1
2
1
1
nnnn
SSa nnn
，
经检验，当
1n
时符合，所以
 
2
1
2
1
nnnn
an
，
*
Nn
；··················6分（不检验扣 1分）
（2）由（1）可得
 
1
11
2
1
21
2nnnnSn
，所以
2
1
1
12
1
11
3
1
2
1
2
1
12
111
22
2
2
1
nnnSSS n
，命题得证.···········12 分
19.【解析】（1）取
BP
中点
M
，连接
CMAM、
，易知
BPAM
且
BPCM
，因此
BP
平面
ACM
，
因为
BP
平面
ABP
，所以平面
ACM
平面
ABP
，因为平面
ACM
平面
AMABP
，
所以直线
AC
在平面
ABP
的射影在直线
AM
上，所以
4
CAM
，································1分
因为
3CMAM
，余弦定理可得
6AC
，因为
222 CMAMAC
，所以
CMAM
，
因为
BPCM
，所以
CM
平面
ABED
，因为
PE
平面
ABED
，所以
PECM
，················3分
因为
2BP
，在
PDE
中，
2EDPD
，
3
2
PDE
，所以
32PE
，又
4BE
，
所以
222 BEPEBP
，即
BPPE
，··························································5分
所以
EP
平面
BCP
；·········································································6分
（2）由（1）可知
MP
、
MC
、
MA
两两垂直，以
M
为原点，
MA
所在直线为
x
轴，
MP
所在直线为
y
轴，
MC
所在直线为
z
轴建立空间直角坐标系，所以
 
300 ，，C
，
 
010 ,,P
，
 
023 ，,D
，
 
0132 ，,E
，
设平面
ECP
的法向量为
 
1111 ,, zyxn
，
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