湖南师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期月考（三）数学试卷含答案

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湖南师大附中 2024 届高三月考试卷（三）
数学
命题人：张汝波 苏萍 柳叶 杨章远 审题人：高三备课组
时量：120 分钟 满分：150 分
得分：____________
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．设集合 ，则 中的元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知复数 （ 为虚数单位）的实部与虚部之和为 4，则在复平面内 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若平面向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．“ 且 ”是“ 为第三象限角”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．将函数 的图象向下平移 1个单位长度，再向右平移 1个单位长度，得到函数 的图象，
则 （ ）
A． B． C． D．
6．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．焦点为 的抛物线 的对称轴与准线交于点 ，点 在抛物线 上且在第一象限，在
中， ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．
8．已知等比数列 单调递增，且 成等差数列，则当 取最小值时，集合
中的元素之和为（ ）
A．36 B．42 C．54 D．61
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9．抽取 市某届马拉松比赛前 5000 名的部分跑者成绩绘制如下频数分布表（单位：分钟）：
分组
频数 20 60 160 140 80 40
则下列选项正确的是（ ）
A．估计总体中成绩落在 分钟内的选手人数为 4500
B．这组数据平均数的估计值为 307 分钟
C．这组数据第 62 百分位数的估计值为 325 分钟
D．在由以上数据绘制的频率分布直方图中，各组长方形的高度之和为 0.02
10．已知曲线 的方程为 （ 且 ）， 分别为 与 轴的左、右交点， 为 上
任意一点（不与 重合），则（ ）
A．若 ，则 为双曲线，且渐近线方程为
B．若 点坐标为 ，则 为焦点在 轴上的椭圆
C．若点 的坐标为 ，线段 与 轴垂直，则
D．若直线 的斜率分别为 ，则
11．如图，已知正四棱台 的上、下底面边长分别为 2和4，侧棱长为 ，点 为棱
的中点，点 在侧面 内运动（包含边界），且 与平面 所成角的正切值为 ，则（
）
A． 长度的最小值为
B．存在点 ，使得
C．存在点 ，使得
D．棱长为 1.5 的正方体可以在此空心棱台容器内部任意转动
12．定义在 上的函数 满足 ，函数 的图象关于 对称，则（
）
A．8是 的一个周期 B．
C． 的图象关于 对称 D．
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13．若圆 和圆 恰有三条公切线，则实数 ____________．
14．若 ，则当 取得最小值时， ____________．
15．已知正 的边长为 2，点 为 所在平面内的动点，且 ，则 的取值范围为__
__________．
16．在三棱台 中， ， ，平面 平
面 ，则该三棱台外接球的体积为____________．
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）
已知 是边长为 2的等边三角形，点 是 内一点， ，求
和 ．
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