湖南省株洲市第二中学2022-2023学年高三下学期第一次月考数学试题

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株洲第二中学 2020 级高三下学期第一次月考数学试题
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 集合 ，则 （ ）
A．B．C．D．
2. 若复数 是方程 的一个根，则 的虚部为（ ）
A．2 B．C．D．
3. 已知函数 对任意 都有 ，则当 取到最大值时， 的一个对称中
心为（ ）
4. 将5名女老师和 5名男老师分配到三个社区，每名老师只去一个社区，若每个社区都必须要有女老师，且有男老
师的社区至少有 2名女老师，则不同的分配方法有（ ）
A．1880 种B．2940 种C．3740 种D．5640 种
5. 已知函数 ， ， ，则 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6. 设甲： ，乙： ，则甲是乙的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
7. 若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A．B．C．D．
8. 已知双曲线 的左，右焦点分别是 ， ，点 P是双曲线 C右支上异于顶点的点，点 H在
直线 上，且满足 .若 ，则双曲线 C的离心率为（　　）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的
得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。
9．2022 年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，上饶市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了调查学
生对冬奥会项目的了解情况，在本市中小学中随机抽取了 10 所学校中的部分同学，10 所学校中了解冬奥会项目的
人数如图所示：
若从这 10 所学校中随机选取 3所学校进行冬奥会项目的宣讲活动，记 为被选中的学校中了解冬奥会项目的人数
在30 以上的学校所数，则下列说法中正确的是（ ）
A． 的可能取值为 0，1，2，3 B．
C．D．
10．已知直线 ， ，设两直线分别过定点 ，直线 和直线 的交点为 ，
则下列结论正确的是（ ）
A．直线 过定点 ，直线 过定点 B．
C． 面积的最大值为 5 D．若 ， ，则 恒满足
11. 已知函数 ， ， ，函数 的图象在点 和点 处的两条切线互相垂
直，且分别交 y轴于 M，N两点，则下列结论正确的有（ ）
A．函数 只有一个极值
B．若函数 有且只有一个零点，则实数 a的取值范围是
C．
D． 的取值范围是（0，1）
12．点 是棱长为 1的正方体 中侧面 上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是
（ ）
A．存在无数个点 满足
B．当点 在棱 上运动时， 的最小值为
C．在线段 上存在点 ，使异面直线 与 所成的角是
D．满足 的点 的轨迹长度是
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 的展开式含 的系数是________（用常数表示）．
14. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取 2个数，事件 为“第一次取到的是奇数”，事件 B为“第
二次取到的是 3的整数倍”，则 _________.
15. 在棱长为 4的正方体 中，点 P、Q分别是 ， 的中点，点 M为正方体表面上一动点，若
MP 与CQ 垂直，则点 M所构成的轨迹的周长为________.
16. 我国民间剪纸艺术在剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.现有一张半径为 的圆形纸，对折 次可以得到
两个规格相同的图形，将其中之一进行第 次对折后，就会得到三个图形，其中有两个规格相同，取规格相同的两
个之一进行第 次对折后，就会得到四个图形，其中依然有两个规格相同，以此类推，每次对折后都会有两个图形
规格相同.如果把 次对折后得到的不同规格的图形面积和用 表示，由题意知 ， ，则 ____
____；如果对折 次，则 ________.
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分 10 分） 中，D为边 AC 上一点， ， .若 ， ，
（1）求线段 BD 的长；
（2）求 的面积.
18.（本小题满分 12 分）数列 满足
．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前n项和为 ．若对于任意正整数 n，均有 恒成立，
求m的最小值．
19.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥中，已知 平面 ，且
四边形 为直角梯形， ， ， ．
（1）求平面 与平面夹角的余弦值；
（2）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线
距离的最小值，利用此定义求异面直线 与 之间的距离．
20.（本小题满分 12 分）2020 年，是人类首次成功从北坡登顶珠峰 60 周年，也是
中国首次精确测定并公布珠峰高程的 45 周年.华为帮助中国移动开通珠峰峰顶5G，有助于测量信号的实时开通，
为珠峰高程测量提供通信保障，也验证了超高海拔地区 5G 信号覆盖的可能性，在持续高风速下5G 信号的稳定
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