湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（一）数学试题+含解析

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英才大联考长郡中学 2024 届高三月考试卷（一）
数学
本试卷共 8页。时量 120 分钟。满分 150 分。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知 ，向量 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.复数 （ ， 为虚数单位）， 表示 的共轭复数， 表示 的模，则下列各式正确的是
（ ）
A. B.
C. D.
4.若直线 ： 与圆 ： 交于 ， 两点，则 的最小值为（
）
A. B. C. D.
5.数列 满足 若 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
6.现有长为 89cm 的铁丝，要截成 小段 ，每段的长度为不小于 1cm 的整数，如果其中任意三小段都
不能拼成三角形，则 的最大值为（ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
7.已知函数 ， .若 在区间 内没有零点，则 的取
值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知函数 在区间 ， 上都单调递增，则实数 的取值范围是（
）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9.同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深
涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线相关理论
在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数表达式可以为
（其中 ， 是非零常数，无理数 ），对于函数 ，以下结论正确的是（ ）
A.如果 ，那么 为奇函数 B.如果 ，那么 为单调函数
C.如果 ab>0，那么 没有零点 D.如果 ，那么 的最小值为 2
10.由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体 1如图 1，沿着 和 分别作上底面的垂面，垂面经过棱
， ， ， 的 中 点 ， ， ， ， 则 两 个 垂 面 之 间 的 几 何 体 2如 图 2所 示 ， 若
，则（ ）
A. B.
C. 平面 D.几何体 2的表面积为
11.已知随机变量 ， ， ， ，记 ，其中 ， ，
则（ ）
A. B.
C. D.若 ，则
12.已知 ，函数 ，则（ ）
A.对任意 ， ， 存在唯一极值点
B.对任意 ，曲线 过原点的切线有两条
C.当 时， 存在零点
D.当 时， 的最小值为 1
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.
13.已知 ，则 __________.
14.用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中个位小于百位且百位小于万位的五位数有 个，则
的展开式中， 的系数是___________.（用数字作答）
15.一个半径为 1的小球在一个内壁棱长为 的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可
能接触到的容器内壁的面积是____________.
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