湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（解析版）

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长郡中学 2023 年下学期高二期中考试
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 8页.时量 120 分钟.满分 150 分.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1. 若两个不同平面 的法向量分别为 ，则（ ）
A. B. C. 相交但不垂直 D. 以上均不正确
【答案】A
【解析】
【分析】根据法向量 ，可得 ，可得法向量 和 平行即可得解.
【详解】由 ，
所以法向量 和 平行，
所以平面 和 平行，
故选：A.
2. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把 个面包分给 个人，
使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设 5人分到的面包数量从小到大记为 ，设公差为 ，可得 ，
，求出 ，根据等差数列的通项公式，得到关于 关系式，即可求出结论.
【详解】设 5人分到的面包数量从小到大记为 ，设公差为 ，
依题意可得， ，
，
，解得 ，
.
故选:A.
【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前 项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应
用是解题的关键，属于中档题.
3. 若直线 与直线 垂直，则
A. 3B. C. -3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据有两直线相互垂直，当其斜率分别为 , ,有=-1，代入可得答案.
【详解】解：由两直线相互垂直，其斜率分别为 , ,有=-1，
可得：k 3=-1，解得:k= ，
故选 D.
【点睛】本题主要考查两直线相互垂直的性质，当其斜率分别为 ,时，有 =-1.
4. 直三棱柱 中， ， 、 分别是 、 的中点， ，则
与 所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，利用空
间向量法可求得 与 所成的角的余弦值.
【详解】由题意可知 平面 ，且 ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直
线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设 ，则 、 、 、 ，
， ， .
故 与 所成的角的余弦值为 .
故选：C.
5. 双曲线 C与椭圆 有相同的焦点，一条渐近线的方程为 ，则双曲线 C的标准方程
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