湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题 含解析

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长郡中学 2023 年上学期高一期中考试
数学
命题人：饶金伟 审题人：李典芳
时量：120 分钟 满分：150 分
一、选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的）
1.设 ， 是两个不共线的向量，若向量 与向量 共线，则（ ）
A. B. C. D.
2.定义：若 ，则称复数 是复数 的平方根.根据定义，复数 的平方根为（
）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
★3.与向量 垂直的单位向量为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
★4.一个球的外切正方体的表面积等于 ，则此球的体积为（ ）
A. B. C. D.
5.在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ，则三棱锥 的外接球
半径为（ ）
A.3 B. C. D.6
6.下列命题正确的为（ ）
① 若 在平面 外，它的三条边所在的直线分别交 于 P、Q，R，则 P，Q，R三点共线；
② 若三条直线 a，b、c互相平行且分别交直线 于 A、B、C三点，则这四条直线共面；
③已知a，b，c为三条直线，若 a，b异面，b，c异面，则 a，c异面；
④已知a，b，c为三条直线，若 ， ，则 .
A.①③ B.②③ C.②④ D.①②
★7.如图，在 中，已知 ， ， ， 、 边上的两条中线 ，
相交于点 ，则 的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，某人用 长的绳索，施力 ，把重物沿着坡度为 30°的斜面向上拖了 ，拖拉点在竖直方向
距离斜面的高度为 ，则此人对该物体所做的功为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分）
9.已知 为复数， 是 的共轭复数，则下列命题一定正确的是（ ）
A.若 为纯虚数，则 B.若 ，则
C.若 ，则 的最大值为 2 D.
★10.关于直线 ， 与平面 ， ，下列命题正确的是（ ）
A.若 ， ，且 ，则
B.若 ， ，且 ，则
C.若 ， ，且 ，则
D.若 ， ，且 ，则
11.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，其中正确的是（ ）
A. B. 与 所成的角为 60°
C. 与 是异面直线 D. 平面
12.已知两个不相等的非零向量 、 ，两组向量 、 、 、 、 和 、 、 、 、 均由 2个
和3个 排列而成.记 ， 表示 所有可能取值中的最小值.则
下列命题中真命题为（ ）
A. 可能有 5个不同的值
B.若 ，则 与 无关
C.若 ，则
D.若 ， ，则 与 的夹角为
三、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分）
★13.如图，将一个长方体沿着相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则此棱锥的体积与剩下的几何体体积的比
是______.
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