湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题 含解析

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长郡中学 2023 年上学期高一期末考试
数学
时量：120 分钟 满分：150 分
一、选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1. 已知复数 ，则复数 在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】先求得复数 的代数形式，进而求得其在复平面内对应的点所在象限.
【详解】 ，则 ，
则复数 在复平面内对应的点坐标为 ，该点位于第三象限.
故选：C
2. 正方体 中，异面直线 与 所成角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方体的性质，结合异面直线所成角的定义进行求解即可.
【详解】由题意，作正方体 ，如下图所示：
连接 ， ，
∴异面直线 与 即所成的角为 .
由题可得 为等边三角形， .
∴异面直线 与 所成的角为 60°.
故选：B.
3. 在 中， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算可得答案.
【详解】由 可得 为 边中点，如图所示：
故选：B.
4. 为空间中两条不同的直线， 为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ∥ ， ∥ ，则 ∥
B. 若
为
异面直线，则过空间任一点 ，存在直线 与 都垂直
C. 若 ， ，则 与 相交
D. 若 不垂直于 ，且 ，则 不垂直于
【答案】B
【解析】
【分析】根据线面平行的判定定理，线面垂直的性质定理等即可判断选项.
【详解】对于选项 A，若 ∥ ， ∥ ，则 或 ∥ ，A错；
对于选项 C，若 ， ， 或 与 相交，C错；
对于选项 D，若 不垂直于 ，且 ， 可能与 垂直，D错；
对于选项 B，过空间一点作两条异面直线的平行线可以确定一个平面，
过空间一点作平面的垂线有且只有一条，B正确.
故选：B
5. 一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的 2倍，若该圆锥的体积为 ，则该圆锥的母线长为
（ ）
A. 3 B. C. 6 D.
【答案】C
【解析】
【分析】设圆锥的底面圆半径为 r，高为 h，母线长为 l，根据圆锥侧面积与圆的面积关系可得 ，由
勾股定理可得 ，结合圆锥的体积公式计算即可求解.
【详解】设圆锥的底面圆半径为 r，高为 h，母线长为 l，
则圆锥侧面展开的扇形面积为 ，底面圆面积为 ，
因为 ，所以 ，得 ，
所以圆锥的体积为 ，
解得 ，所以 ，即圆锥的母线长为 6.
故选：C.
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