湖南省长沙市雅礼教育集团高二2023年上学期数学期中考试试卷（教师版定）

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1
雅礼教育集团 2023 年上学期期中考试试卷
高二数学
时量：120 分钟；分值：150 分
命题人：龙检罗 审题人：卿科 陈朝阳 彭 熹
一､单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求.
*1、【答案】D
【解析】因为
 
| 4 4A x x  
，
 
2 2
| log log 3 | 3B x x x x  
，所以
 
| 3 4A B x x  
．
***2．【答案】D
【详解】因为
| | | |OA OB BA 
 
，A，B是单位圆上的动点，所以
OA OB
 
的最大值为 2，此
时
OA
与
OB
反向.
***3．【答案】C
【解析】由
，得
(1 i) 1 i
(1 i)(1 i)
xy
 
 
，得
i 1 i
2 2
x x y  
，得
1
2
2
x
xy
 
，得
2
1
x
y
，
所以
3x y 
.
*4．【答案】A
【详解】q:
20
1
x
x
≤
，即
: 1q x  
或
2x
，又
:p x k
，
p
是
q
的充分不必要条件，
所以
2k
，即 k的取值范围是
2, 
.
*5．【答案】A
【详解】函数
 
2 sin 2
x
f x x
的定义域为 R，
 
2 sin[2( )] ( )
x
f x x f x
 
，即函数
( )f x
是
奇函数，D不正确；
当
0 πx 
时，由
( ) 0f x
得：
sin 2 0x
，而
0 2 2πx 
，因此
2 πx
，解得
π
2
x
，
于是得
( )f x
在
(0, π)
上有且只有一个零点，B，C不正确，A正确.
**6、【答案】D
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2
【解析】当
0x t 
时，
π π π
3 3 3
x t  
，因为
 
f x
在
 
0,t
上有且仅有 2个零点，
则有
π
2 3π
3
t
 
，解得
3
8
3
5
.
***7. 【答案】B
【解析】因为圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，所以圆锥内积水部分水面的半径为1
2×
1
2×200=50��，故积水量 V水=
2
150 150 125000
3
 
 
(��3)，
所以此次降雨在平地上积水的厚度
2
125000 12.5
100
h
 
(��)，
因为 10.0<12.5<24.9，所以这一天的雨水属于中雨．
** 8．【答案】B
【详解】
( ) e 1, ( ) e
x x
f x mx n f x m   
，
当
0m
时，
( ) 0f x
恒成立，则
( )f x
单调递增，
 
0f n
，显然
( ) 0f x
不恒成立，
当
0m
时，
( ,ln )x m 
时，
( ) 0f x
，函数
( )f x
单调递减；
(ln , )x m 
时，
( ) 0f x
，
函数
( )f x
单调递增，
∴
min
( ) (ln ) ln 1f x f m m m m n  
，
∵
( ) 0f x
恒成立，∴
ln 1 0m m m n  
，
∴
ln 1n m m m  
，
∴
ln 1 1
ln 1
n m m m m
m m m
 
 
，
令
1
( ) ln 1, 0h m m m
m
 
，
2 2
1 1 1
( ) , ( )
m
h m h m
m m m
 
在区间
(0,1)
上单调递减，在区间
(1, )
上单调递增，
∴
min
( ) (1) 0h m h 
．
二､多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
**9．【答案】BD
【详解】对于 A选项，若
A
、
B
是互斥事件，则
A B  
，则
   
0P AB P A P B 
，A
错；
对于 B选项，若
A
、
B
是对立事件，则
A
、
B
是互斥事件，B对；
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3
对于 C选项，若事件
A
、
B
相互独立，
则
               
P A B P A P B P AB P A P B P A P B P A P B      
，C错；
对于 D选项，事件
A
、
B
至少发生一个包含三种情况：
AB
、
AB
、
AB
，
事件
A
、
B
恰好发生一个包含两种情况：
AB
、
AB
，
因此，事件
A
、
B
至少有一个发生的概率不小于
A
、
B
恰好有一个发生的概率，D对.
**10、【答案】ACD
【解析】由
2 4
C C
n n
得
6n
，A对；
二项式
1
2
n
xx
 
 
 
的展开式通项
 
66 6 2
1 6 6
1
C 2 C 1 2
k
k k
k k k k
k
T x x
x
 
 
   
 
 
，
令
6 2 0k 
，可得
3k
，故常数项是第
4
项，B错；
对于 C选项，各项的系数和是
 
6
2 1 1 
，C对；
对于 D选项，展开式共
7
项，第
4
项二项式系数最大，D对.
***11、【答案】ABC
【解析】对于 A，由题意知：当
n
为偶数时，
1
0
n
a a 
；当
n
为奇数时，
0
n
a
，
 
2
21 0
n n n
a a a q
 
，
1
a
最大；综上所述：数列
 
n
a
的最大项为
1
a
，A正确；
对于 B，当
n
为偶数时，
0
n
a
，
 
2
21 0
n n n
a a a q
 
，
2
a
最小；当
n
为奇数时，
2
0
n
a a 
；
综上所述：数列
 
n
a
的最小项为
2
a
，B正确；
对于 C，
2
1n n n
a a a q
，
2
1 2 1n n n
a a a q
 
，
 
2 2 2 2
1 2 1 1 1
n n n n n n n
a a a a q a a q q a
 
 
，
1 0q 
，
21 0q  
，
1 2 1 0
n n n n
a a a a
 
 
，
数列
 
1n n
a a
为递增数列，C正确；
对于 D，
 
2 1 2 2 1 1
n n n
a a a q
 
 
，
 
2 1 2 2 2 1 1
n n n
a a a q
 
 
，
 
 
2
2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1
1 1 1
n n n n n n n
a a a a q a a q q a
   
   
；
1 0q 
，
1 0q 
，
21 0q 
，又
2 1 0
n
a
，
 
2 1 2 2 2 1 2 0
n n n n
a a a a
 
 
，
数列
 
2 1 2n n
a a
为递减数列，D错误.
故选：ABC
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