湖南省长沙市浏阳市2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题参考答案（高二数学）

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2022 年上学期期末考试参考答案（高二数学）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求。
1. B2. C3. A4. B
5. B6. C7.D 8. B
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的对 2 分，有选错的得 0 分。
9. ACD10.CD11. BC 12. BCD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13. 31 14. -1 15. 16.
800π
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.解：（I）由
cos 1 cos
2
B C A
 
，得
cos( ) 1 cos
2 2
AA
 
，即
2
sin 2sin
2 2
A A
，
∵
sin 0
2
A
，∴
1
sin 2 2
A
，……………………2 分
又
(0, )
2 2
A
，∴
2 6
A
，故
．……………………4 分
（Ⅱ）由
ABC
面积
1 1 3
sin 3 3
2 2 2
S bc A bc  
，得
12bc
，……………6 分
又
 
7b c b c 
，
∴
4b
，
3c
，……………………8 分
由余弦定理
2 2 2 1
2 cos 16 9 2 4 3 13
2
a b c bc A  
，
∴
13a
．……………………10 分
18.解：（1）由题意，先从余下的 7 人中选 4 人共有
4
7
C
种不同结果，再将这 4 人与
A
进行全排列有
5
5
A
种不同的排法，故由乘法原理可知共有
4 5
7 5 4200C A
种不同排法；（3分）
（2）从 8 人中任选 5 人排列共有
5
8
A
种不同排法，
A
，
B
，
C
三人全在内有
2 5
5 5
C A
种不
同排法，由间接法可得
A
，
B
，
C
三人不全在内共有
5
8
A
2 5
5 5 5520C A
种不同排法；（6
分）
（3）因
A
，
B
，
C
都在内，所以只需从余下 5 人中选 2 人有
2
5
C
种不同结果，
A
，
B
必
须相邻，有
2
2
A
种不同排法，由于
C
与
A
，
B
都不相邻，先将选出的 2 人进行全排列共
有
2
2
A
种不同排法，再将
A
、
B
这个整体与
C
插入到选出的 2 人所产生的 3 各空位中有
2
3
A
种不同排法，由乘法原理可得共有
2 2 2 2
5 2 2 3 240C A A A
种不同排法；（9分）
2
1
{#{QQABCYQEoggAABIAAABCEwXQCEMQkhECCCgGBFAYsEIACANABCA=}#}
第2页，共 4页
（4）分四类：第一类：所选的 5 人无
A
、
B
，共有
5
6720A
种排法；
第二类：所选的 5 人有
A
、无
B
，共有
4 1 4
6 3 4 1080C C A
种排法；
第三类：所选的 5 人无
A
、有
B
，共有
4 1 4
6 4 4 1440C C A
种排法；
第四类：所选的 5 人有
A
、
B
，若
A
排中间时，有
3 4
6 4
C A
种排法，
若
A
不排中间时，有
3 1 1 3
6 2 3 3
C C C A
种排法，共有
3 4 1 1 3
6 4 2 3 3
( ) 1200C A C C A 
种排法；
综上，共有 4440 种不同排法.……………………12 分
19.解：（1）证明：取
BC
的中点
O
,连接
OA
，在正三棱柱
1 1 1
ABC A B C-
中，不妨设
1
2 , 3AB a AA 
;以
O
为原点，
,OB OA
 
分别为
x
轴和
y
轴正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示，
则
 
,0,0C a
,
 
 
 
0, 3 , 0 , ,0,1 , 0, 3 , 2A a F a E a
，
 
 
 
1
2 ,0,1 , , 3 , 2 , , 3 ,0 , 0,0,3CF a CE a a CA a a CC 
 
；…………2 分
设平面
CEF
的一个法向量为
 
, ,n x y z
，则
0
0
n CF
n CE
 
 


,
2 0
3 2 0
ax z
ax ay z
 
 
，
取
= 1x
，则
3, 2y z a 
，即
 
1, 3, 2n a 
；………………3 分
设平面
1 1
ACC A
的一个法向量为
 
1 1 1
, ,m x y z
，则
1
0
0
m CA
m CC
 
 
,
即
1 1
1
3 0
3 0
ax ay
z
 
，取
11y 
得
 
3, 1, 0m 
.………………4 分
因为
3 3 0m n  
 
，所以平面
CEF
平面
1 1
ACC A
；………………6 分
（2）因为
2AC AE 
，由（1）可得
1a
，即
 
1, 3, 2n 
，………………7 分
易知平面
1
CFC
的一个法向量为
 
0, 3, 0OA
,………………8 分
3 6
cos , 4
8 3
n OA
n OA n OA
 
 
 
 
 
；………………10 分
二面角
1
E CF C 
的余弦值为
6
4
.………………12 分
{#{QQABCYQEoggAABIAAABCEwXQCEMQkhECCCgGBFAYsEIACANABCA=}#}
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