湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题 含答案

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长沙市第一中学 2022-2023 学年度高二第二学期期中考试
数 学
时量：120 分钟 满分：150 分
得分
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．设 （其中 i为虚数单位），则
A．B．C．D．
2．已知 为奇函数，则 的值为
A．B．1 C．D．
3．已知 是等比数列，且 ．若 ，则
A．±2 B．2 C．－2 D．4
4．已知圆锥的侧面积为 ，底面积为 ，底面半径为 r，且 ，若底面半径同为 r且体积与圆锥相等
的圆柱高为 ，则
A．B．C．D．2
5．已知 P是边长为 2的菱形 ABCD 内一点，若 ，则 的取值范围是
A．B．C．D．
6．在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数 ．小明在设置银行卡的数字密码时，
打算将自然常数的前 6位数字 2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求 2不排第一个，两
个8相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为
A．30 B．32 C．36 D．48
7．如图，直线 与函数 和 的图象分别交于点 A，B，若函数 的
图象上存在一点 C，使得△ABC 为等边三角形，则 t的值为
A．B．C．D．
8．在平面直角坐标系中， ， ．以下各曲线：① ；② ；③
；④ 中，存在两个不同的点 M，N，使得 且 的曲线是
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
二、选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9．下列说法正确的有
A．数据 4，7，6，5，3，8，9，10 的第 70 百分位数为 8
B．线性回归模型中，相关系数 r的绝对值越大，则这两个变量线性相关性越强
C．回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越大，拟合效果越好
D．根据分类变量 X与Y的成对样本数据计算得到 ，依据 的独立性检验（
），没有充分证据推断原假设不成立，即可认为 X与Y独立
10．已知 O是平面直角坐标系的原点，抛物线 C： 的焦点为 F， ， 两点在抛物
线C上，下列说法中正确的是
A．抛物线 C的焦点坐标为
B．若 ，则
C．若点 P的坐标为 ，则抛物线 C在点 P处的切线方程为
D．若 P，F，Q三点共线，则
11．已知函数 ，则下述结论正确是
A． 是偶函数 B． 的周期是 π
C．函数 的图象关于直线 对称 D． 的值域为
12．已知函数 ，则下列说法正确的是
A． 在 上单调递减 B． 恰有 2个零点
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13．函数 的定义域为 ．
14．在正方体 中，E，F分别是面 和面 的中心，则 EF 和CD 所成角的
大小是 ．
15．德国数学家高斯被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉．他幼年时就表现出超
人的数学天赋，10 岁时，他在进行 的求和运算时，就提出了倒序相加的原理，该原理基于所
给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成．已知某数列通项
．
16．已知函数 ．
（1）若 ，则 的解集为 ；
（2）若关于 x的不等式的解集为 ，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
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