湖南省岳阳市2022-2023学年高一下学期5月期中考试数学试题答案

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参考答案与试题解析

一．选择题（共 12 小题）

1．已知 a＞0且a≠1，若集合 A＝{x|2x2＜logax}，，且 A⫋B，

则实数 a的取值范围是（　　）

A．B．

C．D．

【分析】可求出，讨论 a：0＜a＜1时，可画出 y＝2x2和y＝logax

的图象，根据图象可得出，从而可解出 a的范围；a＞1时，可设

f（x）＝2x2log﹣ax，可看出当 0＜x≤1 时，f（x）＞0恒成立，A＝∅，从而得出 a＞1

时，要满足 A⫋B，只需 A＝∅，即对任意的 x∈（0，+∞），f（x）≥0恒成立．然后通过

导数可求出 f（x）的最小值，然后让最小值满足，然后解出 a

的范围即可．

【解答】解：依题意，，且 A⫋B，

①当0＜a＜1时，作出 y＝2x2和y＝logax的大致图象，

则，即，

∴，解得；

②当a＞1时，设 f（x）＝2x2log﹣ax，

当0＜x≤1 时，logax≤0，则 f（x）＞0恒成立，A＝∅，满足 A⫋B，

于是当 a＞1时，A⫋B，当且仅当 A＝∅，即不等式 f（x）≥0对∀x∈（0，+∞）恒成立，

，由 f′（x）＝0得，，当时，f′（x）

＜0；当时，f′（x）＞0，

∴f（x）在上单调递减，在单调递增，

∴＝，

∴，即 1+ln（4lna）≥0，∴ ，∴ ，

∴当时，f（x）≥0恒成立，A＝∅，满足 A⫋B，

综上得，a的取值范围为：．

故选：B．

【点评】本题考查了对数函数的定义域和单调性，借助函数图象解决函数问题的方法，

对数的运算性质，对数的换底公式，根据导数求函数的最值的方法，基本初等函数的求

导公式，考查了计算能力，属于难题．

2．已知集合 A满足：①A⊆N，②∀x，y∈A，x≠y，必有|x﹣y|≥2，③集合 A中所有元素之

和为 100，则集合 A中元素个数最多为（　　）

A．11 B．10 C．9 D．8

【分析】根据集合 A满足的条件①②可知要使得集合 A中元素尽可能多，则相邻的两

个自然数最少差为 2，故先考虑集合中元素是由公差为 2的等差数列构成，判断集合元

素的个数的最多情况，再对部分元素进行调整即可得答案．

【解答】解：对于条件①A⊆N，②∀x，y∈A，x≠y，必有|x﹣y|≥2，

若集合中所有的元素是由公差为 2的等差数列构成，例如

{0，2，4，6，8，10，12，14，16，18，20}，集合中有 11 个元素，

又0+2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 ＝110 ＞100 ，0+2+4+6+8+10+12+14+16+18 ＝90 ＜

100，

则该集合满足条件①②，不符合条件③，故符合条件③的集合 A中元素个数最多不

能超过 10 个，

故若要集合 A满足：①A⊆N，②∀x，y∈A，x≠y，必有|x﹣y|≥2，③集合 A中所有元素

之和为 100，最多有 10 个元素，

例如 A＝{0，2，4，6，8，10，12，15，18，25}．

故选：B．

【点评】本题主要考查元素与集合的关系，集合中元素个数最值的求法，考查运算求解

能力，属于中档题．

3．用 C（A）表示非空集合 A中的元素个数，定义

，若 A＝{1，2}，B＝{x|（x2+ax）（⋅x2+ax+2）

＝0}，且 A*B＝1，设实数 a的所有可能取值组成的集合是 S，则 C（S）等于（　　）

A．1 B．3 C．5 D．7

【分析】结合题意知 C（A）＝2，从而可得 C（B）＝1或C（B）＝3，即方程

（x2+ax）•（x2+ax+2）＝0有1个根或 3个根，而由 x2+ax＝0得x＝0或x+a＝0，分类

讨论；当 a＝0时，求解集合 B，判断；当 a≠0 时，x2+ax＝0对应的根为 0和﹣a，则

C（B）＝3，再按方程 x2+ax+2＝0的解的情况分两类讨论，进一步检验即可．

【解答】解：由题意知，C（A）＝2，

∵A*B＝1，

A*B＝，

∴C（B）＝1或C（B）＝3，

即方程（x2+ax）•（x2+ax+2）＝0有1个根或 3个根，

若（x2+ax）•（x2+ax+2）＝0，

则x2+ax＝0或x2+ax+2＝0，

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