湖南省永州市第一中学2023-2024学年高二上学期入学考试 数学答案

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永州一中 2023 年下期高二入学考试数学试卷·数学答案 第 1 页（共 4 页）
永州一中 2023 年下期高二入学考试数学试卷
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
A
C
C
A
B
C
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得 5分，有选错的得 0分．部分选对的得 2分．
题号
9
11
12
答案
ABD
ABC
ABC
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
13．
52
14．
36
15．
14
16．
6
四、解答题：本大题共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：（1）由正弦定理可得：
2 2 2
BC AC AB AC AB− − = 
，
2 2 2 1
cos 22
AC AB BC
AAC AB
+−
= = −
，
( )
0,A
，
2
3
A
=
.
（2）由余弦定理得：
2 2 2 2 2
2 cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB= + − = + + =
，
即
( )
29AC AB AC AB+ −  =
.
2
2
AC AB
AC AB +




（当且仅当
AC AB=
时取等号），
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
3
924
AC AB
AC AB AC AB AC AB AC AB
+

= + −  + − = +


，
解得：
23AC AB+
（当且仅当
AC AB=
时取等号），
ABC△
周长
3 2 3L AC AB BC= + +  +
，
ABC△
周长的最大值为
3 2 3+
.
18．解：（1）设
A
，
B
，
C
分别表示甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，那么
( )
( )
( )
1
4
1
12
2
9
P AB
P BC
P AC
=
=
=
，即
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
1
14
1
112
2
9
P A P B
P B P C
P A P C
−=
−=
=
，解得
( )
( )
( )
1
3
1
4
2
3
PA
PB
PC
=
=
=
{#{QQABIYaQogCoQAJAARhCUQEyCgCQkBCAACgGhBAIIAAAyAFABAA=}#}
永州一中 2023 年下期高二入学考试数学试卷·数学答案 第 2 页（共 4 页）
即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别为
1
3
，
1
4
，
2
3
.
（2）设
D
为“从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品”的事件，则
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 3 1 5
1 1 1 1 1 3 4 3 6
P D P D P A P B P C= − = − − − = − =
，
即从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率是
5
6
.
19．解：（1）因为在平行六面体
1 1 1 1
ABCD A B C D−
中，点
P
在线段
BC
上，且满足
BP PC=
．
设
AB a=
，
AD b=
，
1
AA c=
，这三个向量不共面，
 
,,abc
构成空间的一个基底．
所以
( ) ( )
1 1 1
D P AP AD AB BP AD AA= − = + − +
( )
11
22
a b b c a b c

= + − + = − −


．
11
2
D P a b c= − −
，
2
2 2 2 2
111 2
24
D P a b c a b c a b a c b c

= − − = + + − −  +


1 1 1 1
4 4 1 2 2 2 2 1 2 1 4 1 1 2 2 1 3
4 2 2 2
= + + − − + = + + − − + =
，
13DP=
．
（2）由（1）知
11
2
D P a b c= − −
，
13DP=
，
1cAB a=+
，
( )
2
11
4 1 2 2 1 7
2
AB a c ==+ + +   =
，
( )
11
11
11
1
2
cos , 73
a c a b c
AB D P
AB D P AB D P

+  − −


= =
22
1 1 3 21
2 2 2 14
7 3 21
a a b a c a c b c c−  −  +  −  −
= = =
，
直线
1
AB
与
1
DP
所成角的余弦值为
21
14
．
20．解：（1）因为
/ / , 1, 3, 3,= = = = ⊥AB CD AB CD AD BC AE CD
，
所以
311, 3 1 2
2
DE AE
−
= = = − =
，
所以
1DE
=
，又
2DB
=
，
2 1 3BE = + =
，
所以
2 2 2
D B BE D E

=+
，故
D E BE
⊥
，
又
D E AE
⊥
，
,AE BE
平面
ABCE
，
AE BE E=
，
所以
DE
⊥
平面
ABCE
，因为
AC
平面
ABCE
，所以
D E AC
⊥
，
在等腰梯形 ABCD 中，
3, 2 4 6, 3AD AC DC= = + = =
，所以
2 2 2
=AD AC CD+
，
所以
AD AC⊥
，又
//AD BE
，所以
AC BE⊥
，
{#{QQABIYaQogCoQAJAARhCUQEyCgCQkBCAACgGhBAIIAAAyAFABAA=}#}
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