湖南省永州市第一中学2023-2024学年高二上学期入学考试 数学

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永州一中 2023 年下期高二入学考试·数学 第 1 页（共 4 页）
永州一中 2023 年下期高二入学考试数学试卷
满分：150 分 考试时间：120 分钟
命题人：陈诗跃 审题人：魏善元
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1. 设集合
 
2
| 4 3 0A x x x= − + 
，
 
| 2 3 0A x x= − 
，则
AB=
A．
3
|3 2
xx

−  −


B．
3
|3 2
xx

− 


C．
3
|1 2
xx




D．
3
|3
2
xx




2. 已知平面
平面
，则“直线
m⊥
平面
”是“直线
//m
平面
”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3. 在梯形
ABCD
中，
π
2
ABC=
，
//AD BC
，
2 2 2BC AD AB= = =
，将梯形
ABCD
绕
AD
所在的直线旋转一
周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为
A．
( )
52π+
B．
( )
42π+
C．
( )
5 2 2 π+
D．
( )
32π+
4. 已知
π,0
2

−


，且
π
2cos2 sin 4


=+


，则
sin2
=
A．
3
4
−
B．
3
4
C．
1−
D．
1
5．在
ABC△
中，过重心
E
任作一直线分别交
AB
，
AC
于
M
，
N
两点，设
AM xAB=
，
AN yAC=
（
0, 0xy
），则
4xy+
的最小值是
A．
4
3
B．
10
3
C．
3
D．
2
6．已知三棱柱
1 1 1
ABC A BC−
的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为
3
，
2AB =
，
1AC =
，
60BAC = 
，则此球的表面积等于
A．
8π
B．
9π
C．
10π
D．
11π
7．已知
ABC△
是边长为 4的等边三角形，
P
为
ABC△
所在平面内一点，则
( )
PA PB PC+
的最小值为
A．
8−
B．
6−
C．
4−
D．
2−
8．在空间直角坐标系
O xyz
−
中，经过点
( )
0 0 0
,,P x y z
且一个法向量为
( )
,,m a b c=
的平面
的方程为
( ) ( ) ( )
0 0 0 0a x x b y y c z z− + − + − =
，经过点
P
且一个方向向量为
( )( )
, , 0n v v
 
=
的直线
l
的方程为
0 0 0
x x y y z z
v

− − −
==
.阅读上面材料并解决下面问题：现给出平面
的方程为
3 5 4 1 0x y z− + + =
，直线
l
的方程为
3 5 4
x y z
==
，则直线
l
到平面
的距离为
A. 0 B.
2
2
C.
2
10
D.
10
10
{#{QQABIYaQogCoQAJAARhCUQEyCgCQkBCAACgGhBAIIAAAyAFABAA=}#}
永州一中 2023 年下期高二入学考试·数学 第 2 页（共 4 页）
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分．
9．已知复数
1i
1i
z+
=−
，以下结论正确的是
A．
2021
z
是纯虚数 B．
i2z+=
C．
1zz = −
D．在复平面内，复数
izz+
对应的点位于第三象限
10．已知
ABC△
中的两个内角的正切值为方程
25 6 0xx− + =
的两个根，最长的边为 3，则
ABC△
的
A．最小角为
π
4
B．最短边的中线长为
29
C．最长边上的高为
2
D．外接圆的半径为
10
11．下面四个结论正确的是
A．已知向量
( )
9,4, 4a=−
，
( )
1,2,2b=
，则
a
在
b
上的投影向量为
( )
1,2,2
B．若对空间中任意一点
O
，有
1 1 1
6 3 2
OP OA OB OC= + +
，则
P
，
A
，
B
，
C
四点共面
C．已知
 
,,abc
是空间的一组基底，若
m a c=+
，则
 
,,a b m
也是空间的一组基底
D．若直线
l
的方向向量为
( )
1,0,3e=
，平面
的法向量
2
2,0, 3
n
=−


，则直线
l
⊥
12．如图，若正方体的棱长为 1，点
M
是正方体
1 1 1 1
ABCD A BC D−
的侧面
11
ADD A
上的一个动点（含边界），
P
是棱
1
CC
的中点，则下列结论正确的是
A. 沿正方体的表面从点
A
到点
P
的最短路程为
13
2
B. 若保持
2PM =
，则点
M
在侧面
11
ADD A
内运动路径的长度为
π
3
C. 三棱锥
1
B C MD−
的体积最大值为
1
3
D. 若点
M
在
1
AA
上运动，则
1
D
到直线
PM
的距离的最小值为
3
3
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共20 分．
13．向量
( ,1,3)ax=
，
(1, ,1)by=
，
(2, 4,2)c=−
，且
ac⊥
，
//bc
，则
2ab+=
___________．
14．若
1
k
，
2
k
， ，
6
k
的方差为 4，则
( )
1
32k−
，
( )
2
32k−
， ，
( )
6
32k−
的方差为 .
15．若三个向量
( )
2,3,2a=
，
( )
6, ,7bm=
，
( )
0,5,1c=
共面，则实数
m
的值为 .
16．在正方体
1 1 1 1
ABCD A BC D−
中，点
P
满足
1 1 1 1 1
B P xB A yB C zB D= + +
，且
1x y z+ + =
，直线
1
BP
与平面
1
ACD
所成角为
π
3
，若二面角
1
P AD B−−
的大小为
，则
tan
的最大值是__________.
{#{QQABIYaQogCoQAJAARhCUQEyCgCQkBCAACgGhBAIIAAAyAFABAA=}#}
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