湖南省永州市第一中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题答案

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2023 年下期永州一中第一次月考试题参考答案
1-8: BDCD CACB 9．BCD 10．ABC 11.BC 12．ACD
13. 16 14．
5
15．1 16．
8
5
【12 详解】设线段
AB
的中点为
D
，因为圆
O
的半径为 2，
2 3AB
，
所以
 
2
2
2 3 1OD  
，且
，
对于 A选项，设点
P
到直线
AB
的距离为
h
，则
9 5 1 15h PD PO OD PC OC OD     
，
所以当且仅当
, , ,P D O C
四点共线时，点
P
到直线
AB
距离的最大值为 15，所以
ABP
的面积的最大值为
15 3
，
故A正确；对于 B选项，点
C
到直线
PA
的距离小于等于
CA
，当
PA CA
时，等号成立，又
CA
的最大值为 7，
所以点
C
到直线
PA
的距离的最大值为 7，这时直线
PA
被圆
C
截得的弦长的最小值为
2
2 81 7 8 2 
，故 B错
误；对于 C选项，若
ABP
为等边三角形，则需
PD AB
，
，因为
1OD
，所以点
D
的轨迹是以
O
为
圆心的单位圆，所以
min 1PD PO 
，又
PO
的最小值为 4，所以
min 3PD
，当且仅当
, , ,P D O C
四点共线时成
立，因此有且仅有一个点
P
，使得
ABP
为等边三角形，故 C正确；对于 D选项，若直线
PA
，
PB
都是圆
O
的切
线，则
PA OA
，由射影定理，可得
4PO
，同上，当且仅当
, ,P O C
三点共线时，
min 4PO
，因此有且仅有
一个点
P
，使得直线
PA
，
PB
都是圆
O
的切线，故 D正确；故选：ACD
【16 详解】以点
C
为坐标原点，
CD
、
CB
、
1
CC
所在直线分别为
x
、
y
、
z
轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则
 
12,0, 2D
、
 
1,1, 0O
、
 
0, 2,0B
，设点
 
0, , 0 2,0 2P y z y z  
，
 
11,1, 2D O  

，
 
1, 1,OP y z 
，因为
1
D O PO
，则
11 1 2 0D O OP y z  
 
，即
2y z
，即点
 
0, 2 ,P z z
，
由题意可得
0 2
0 2 2
z
z
 
 
，则
0 1z 
，取点
 
0, 2,1E
，则点
P
的轨迹为线段
CE
，
设点
B
关于直线
CE
的对称点为点
 
0, ,B s t
，
则线段
BB
的中点
2
0, ,
2 2
s t
M
 
 
 
在直线
CE
上，所以，
2
2
st
，
可得
2 2s t 
，①
 
0, 2,BB s t
 
，
 
2 2 2 4 0BB CE s t s t
 
 
，②，
联立①②可得
6
5
s
，
8
5
t
，则点
6 8
0, ,
5 5
B 
 
 
，由对称性可知
PB PB
，
{#{QQABDQCEogCAAAJAAAhCAQnACEGQkBCACAoOQBAIIAAAwRFABCA=}#}
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所以，点
P
到底面
ABCD
的距离与它到点
B
的距离之和的最小值，
即为点
B
到平面
ABCD
的距离，即为
8
5
.故答案为：
8
5
.
17. 解：（1）
直线
l
与直线
: 2 0m x y 
垂直，
2 2 0a  
，解得
1a
;(4 分)
（2）当
0a
时，直线
l
化
为
：
1y
．不满足题意．
当
0a
时，可得直线
l
与坐标轴的交点
2
(0, )
2
a
，
2,0
a
a
 
 
 
．
直线
l
在两轴上的截距相等，
2 2
2
a a
a
 
，解得：
2a 
．
该直线的方程为：
0x y 
，
2 0x y  
． (10 分)
18.因为
 
2,0, 2P
，
 
1,1, 2M
，
 
3, 0, 4N
，所以
(1,1,0), ( 1,0, 2),a PM b PN
 
 
（1）
( 1, , 2)ka b k k 
，
2 ( 2, , 4)ka b k k  
，
因为
( ) ( 2 )kb b kb b 
 
，所以
2
( 1)( 2) 8 0k k k  
，
整理得
2
2 10 0k k 
，解得
2k
或
5
2
k 
，所以
k
的值为
2k
或
5
2
k 
.(6 分)
(2) 设直线
PM
的单位方向向量为
u
，则
2 2 2
(1,1,0) ( , , 0).
| | 2 2 2
a
ua
 
由于
( 1, 0, 2)PN b
 
，所以
2
5b
，
2,
2
b u  
所以点 N到直线 PM 的距离
2 2 2
2 3 2
( ) 5 ( ) .
2 2
d b b u  
(12 分)
19．（1）过点
 
2, 1P
且与直线
1 0x y  
垂直的直线方程为
3 0x y  
，
联立
3 0
2
x y
y x
 
 
，解得
1
2
x
y
 
，所以
 
1, 2M
,
所以圆
M
的半径为
 
2 2
2 1 1 2 2MP   
,
所以圆
M
的方程为
 
2 2
1 2 2x y  +
.(5 分)
（2）由（1）可知圆
M
的方程为
 
2 2
1 2 2x y  +
，因为直线
l
被圆
M
截得的弦长为
6
，
所以
M
到直线
l
的距离为
6 2
24 2
d  
，
若直线
l
的斜率不存在，则方程为
0x
，此时圆心到直线的距离为
1
，不符合题意；
若直线
l
的斜率存在，设方程为
y kx
，
{#{QQABDQCEogCAAAJAAAhCAQnACEGQkBCACAoOQBAIIAAAwRFABCA=}#}
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