湖南省永州市2024届高三上学期第一次模拟考试数学试卷

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永州市 2024 年高考第一次模拟考试·数学参考答案及评分标准第1页（共 10 页）

永州市 2024 年高考第一次模拟考试

数学参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

题号

答案

二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分．

题号

答案

ACD

三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分. 把答案填在答题卡中对应题号后的

横线上.

13．

14．

ac

15．

( , )

e

16．

24yx

部分小题提示解析：

7．先求出

Sn

，

则

a n n  

，

可以判断出A、B、C均错．

对D：当

2n

时，

1 1 2 2 2( 1)

Sn n n n

     



所以

1 2 100

1 1 1 1 2( 2 1) 2( 3 2) 2( 100 99)=19

S S S

          

8．由

( ) 3





是

()fx

的最大值

()fx

在

()fx

区间

( , )





上没有零点

设

()fx

的周期为T

则

( ) ( )

4 3 6 4 12 4

    

        

化简得





，即







所以





①当

( ) ( )

2 4 4



   

，即

3()

T k N







{#{QQABLQCEogioQBIAAAhCAQGiCgIQkBEAACoOhAAIsAAAgQNABCA=}#}{#{QQABJQAs4gAY0BYACY4LAUXmCwsQkICALKoOQRANuAwowINAFCA=}#}{#{QQABLQCAggAAQhBAAQhCAQWCCgIQkBAACCoOAAAMsAAAgANABCA=}#}

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则

41k







，即







所以

k

，则

0,1, 2k

②当

( ) ( )

2 4 4



   

，即

3()

T k N







则

43k







，即







所以

k

，则

0,1k

综上，



的取值共有5种．

11．先根据已知条件求出三棱锥

P BCD

是棱长为

的正四面体，然后将此正四面体放置

于棱长为

的正方体中，则正四面体的棱即为正方体的面对角线，那么直线

为

体对角线所在的直线，易证

PO 

平面

BCD

，故 A正确．

由上易知球 O的半径为

,所以球 O的表面积为



，故 B错．

球O被平面

BCD

截得的截面圆即为正三角形

BCD

的内切圆，其半径为

，所以一

个截面圆的周长为



，则球 O被三棱锥

P BCD

表面截得的截面周长为



，

故C正确．

因为

与

垂直，所以过点

与直线

，

所成角均为

的直线可作 2条，故D错．

12．由

( 1)gx

为偶函数，则

( 1) ( 1)g x g x   

，即

( ) ( 2)g x g x  

由

 

1 ( 2) 3

( 1) ( ) 1

f x g x

    



   





，可得

 

1 ( ) 3

( 1) ( ) 1

f x g x

    



   





两式相加得：

( 1) ( 1) 4f x f x   

，则

( 2) ( ) 4

( 4) ( 2) 4

f x f x

  



   



两式相减得：

( 4) ( )f x f x

，故

()fx

的周期为4，故A正确

同理可得，

()gx

的周期为4

所以

(3) ( 1) 2gg  

，故B错误

由上式可知

(1) (2) (3) (4) 8f f f f   

又

(2) ( 1) 3fg  

，则

(2) 1f

所以

2023

( ) 505 8 (1) (2) (3) 4045

f k f f f



     



，故C正确

(1) (2) (3) (4) (1) (2) (3) (4) 4 4g g g g f f f f        

所以

2023

( ) 505 4 (1) (2) (3)

g k g g g



    



2022 (2) 2023g  

，故D正确．

{#{QQABLQCEogioQBIAAAhCAQGiCgIQkBEAACoOhAAIsAAAgQNABCA=}#}{#{QQABJQAs4gAY0BYACY4LAUXmCwsQkICALKoOQRANuAwowINAFCA=}#}{#{QQABLQCAggAAQhBAAQhCAQWCCgIQkBAACCoOAAAMsAAAgANABCA=}#}

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15．由

( 2)

( ) ln 0

e tx

f x x



  





xxneetxtx ln)2(l)2( 

令

xxxh ln)2()( 

，即

)()( xheh tx 

可证

xxxh ln)2()( 

在

），（ 0

单调递增，

从而只需

ex

，即得

ln x



故只需

max

ln 1

()

txe



16．取 AB 的中点 G，连接 NG，

因为

02pa

则

NG a

，

因为 R是线段 NF 上靠近 F的四分点，

所以

4NF RF

，且

NF a

，

所以

3()

NA NR a  

，

又

25AB RF

，

所以

5 ( )

4 4 2

GA RF NF a   

在Rt

AGN

中，

222 NAGNGA 

故

222 )

(

)

()

(

a

，

解得

ap

又点

)32,(aN

）（ 0a

在抛物线

 

: 2 0 2C y px p a  

上

从而

6pa 

可求得

2p

，

故抛物线 C的方程

24yx

四、解答题：本大题共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．解析：

（1）由题意可得：

 

1 3 2

26a a a  

则

 

1 2 3 2 2

2 6 39a a a a a     

..................................................1分

解得

29a

..................................................2分

可得

 

1 3 1

1 30

a a q

a a a q







   





...............................................3 分

{#{QQABLQCEogioQBIAAAhCAQGiCgIQkBEAACoOhAAIsAAAgQNABCA=}#}{#{QQABJQAs4gAY0BYACY4LAUXmCwsQkICALKoOQRANuAwowINAFCA=}#}{#{QQABLQCAggAAQhBAAQhCAQWCCgIQkBAACCoOAAAMsAAAgANABCA=}#}

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