湖南省益阳市2022-2023学年高二上学期六校联考数学期末试题 含解析

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益阳市 2022-2023 学年六校期末联考
数 学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无
效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
（选择性必修 1+选择性必修 2数列部分）
一、选择题（共 40 分）
1. 已知向量
⃗
a=
(
1,2 ,− 2
)
，
⃗
b=
(
−3, −6,6
)
，
⃗
c=
(
2,1,2
)
，则它们的位置关系是
()
A．
⃗
a∥
⃗
b
，
⃗
a∥
⃗
c
B．
⃗
a⊥
⃗
b
，
C．
⃗
a⊥
⃗
b
，
⃗
b∥
⃗
c
D．
⃗
a∥
⃗
b
，
⃗
b⊥
⃗
c
2. 在三棱锥
P − ABC
中，
CP
，
CA
，
CB
两两垂直，
AC=CB=1
，
PC=2
，在如图所示的坐标系
下，下列向量中是平面
PAB
的法向量的是
()
A．
(
1,1 ,1
2
)
B．
(
1,❑
√
2,1
)
C．
(
1,1,1
)
D．
(
2, −2,1
)
3. 已知等比数列
{
an
}
的公比为
q
，前
n
项和为
Sn
，若
q=2
，
S2=6
，则
S3=¿
()
A．
8
B．
10
C．
12
D．
14
4. 如图，将一个边长为
1
的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中
间一段，得图（
2
），如此继续下去，得图（
3
），
⋯
，设第
n
个图形的边长为
an
，则数列
{
an
}
的通项公式为
()
A．
1
3n
B．
1
3n− 1
C．
1
3n
D．
1
3n −1
5. 任意三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知
△ABC
的顶点
A
(
2,0
)
，
B
(
0,4
)
，若其欧拉线的方程为
x− y+2=0
，则顶点
C
的坐标为
()
A．
(
−4,0
)
B．
(
−3, −1
)
C．
(
−5,0
)
D．
(
−4, −2
)
6. 已知定点
B
(
3,0
)
，点
A
在圆
(
x+1
)
2+y2=4
上运动，则线段
AB
的中点
M
的轨迹方程是
()
A．
(
x+1
)
2+y2=1
B．
(
x − 2
)
2+y2=4
C．
(
x − 1
)
2+y2=1
D．
(
x+2
)
2+y2=4
7. 已知双曲线
C:x2
a2−y2
b2=1
(
a>0, b>0
)
，
F1
，
F2
分别是双曲线的左、右焦点，
M
是双曲线右支
上一点，连接
M F1
交双曲线
C
左支于点
N
，若
△MN F2
是以
F2
为直角顶点的等腰直角
三角形，则双曲线的离心率为
()
A．
❑
√
2
B．
❑
√
3
C．
2
D．
❑
√
5
8. 已知
F1
，
F2
分别为双曲线
C:x2
2−y2
6=1
的左、右焦点，过
F2
的直线与双曲线
C
的右支交
于
A
，
B
两点（其中点
A
在第一象限）．设点
H
，
G
分别为
△A F1F2
，
△B F1F2
的内心，
则
∣HG ∣
的取值范围是
()
A．
[
2❑
√
2,4
)
B．
[
2,4❑
√
6
3
)
C．
(
4❑
√
3
3,2❑
√
2
]
D．
[
2❑
√
2,4❑
√
6
3
)
二、多选题（共 20 分）
9. 已知点
P
是平行四边形
ABCD
所在的平面外一点，如果
⃗
AB=
(
2, −1, − 4
)
，
⃗
AD=
(
4,2,0
)
，
⃗
AP=
(
−1,2 ,− 1
)
．下列结论正确的有
()
A．
AP⊥AB
B．
AP⊥AD
C．
⃗
AP
是平面
ABCD
的一个法向量
D．
⃗
AP ∥
⃗
BD
10. 数列
{
an
}
的前
n
项和为
Sn
，若
a1=1
，
an+1=2Sn
(
n∈N∗
)
，则有
()
A．
Sn=3n −1
B．
{
Sn
}
为等比数列
C．
an=2⋅3n −1
D．
an=
{
1, n=1
2⋅3n− 2, n≥ 2
11. 已知双曲线
C
过点
(
3,❑
√
2
)
且渐近线为
y=±
❑
√
3
3x
，则下列结论正确的是
()
A．
C
的方程为
x2
3− y2=1
B．
C
的离心率为
❑
√
3
C．曲线
y=ex− 2−1
经过
C
的一个焦点
D．直线
x −❑
√
2y − 1=0
与
C
有两个公共点
12. 定义点
P
(
x0, y0
)
到直线
l:ax+by+c=0
(
a2+b2≠0
)
的有向距离为
d=a x0+b y0+c
❑
√
a2+b2
．已知点
P1
，
P2
到直线
l
的有向距离分别是
d1
，
d2
．以下命题不正确的是
()
A．若
d1=d2=1
，则直线
P1P2
与直线
l
平行
B．若
d1=1
，
d2=−1
，则直线
P1P2
与直线
l
垂直
C．若
d1+d2=0
，则直线
P1P2
与直线
l
垂直
D．若
d1⋅d2≤0
，则直线
P1P2
与直线
l
相交
三、填空题（共 20 分）
13. 如图，以长方体
ABCD− A1B1C1D1
的顶点
D
为坐标原点，过
D
的三条棱所在的直线为坐
标轴，建立空间直角坐标系，若
⃗
D B1
的坐标为
(
4,3,2
)
，则
⃗
B D1
的坐标为 ．
14. 在平面直角坐标系中，经过三点
(
0,0
)
，
(
1,1
)
，
(
2,0
)
的圆的方程为 ．
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