湖南省湘西州吉首市2024届高三上学期第二届中小学生教师解题大赛 数学参考答案

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2024 届高三模拟试卷（数学学科）
数学参考答案
1. 【答案】C
【解析】
 
2 1 3 1M x x x x  
，因为
M N N 
，所以
N
为
M
的子集，
所以
1a
.故选：C.
2. 【答案】D
【解析】
复数
1
z
与
在复平面内对应
的
点关于实轴对称，
13 2iz  
，
 
 
13 2i 1 i
3 2i 5 i
1 i 1 i 1 i 1 i 2
z 
 
 
 
故选：D．
3. 【答案】A
【解析】根据题意，知
BC
边为圆
O
的直径，又由
| | | |AO AB
 
，则
ABO
为正三角形，则有
1
| | | |
2
BA BC
 
，
则向量
BA
在向量
BC
上的投影向量
| | cos 60 | |
BC
BA BC
1
4BC
,故选：A．
4. 【答案】B
【解析】对 A，若
2 2
am bm
中，
0m
时
a b
也成立，故 A 错；
对 B，当
3
4
x
时，
tan 1x 
，故
tan 1x
，若
tan 1x
，则
(4 1)
4
k
x
，故 B 对；
对 C，存在量词命题的否定是
1
, 2x x x
  R
，故 C 错；
对 D，若
1, ,xy x y
均为负数，则
lg ,lgx y
无意义，故 D 错.
5.【答案】D
【解析】由题意，
43
4
a
S ab 
，即
43
4
b
，所以
43
4
b
，令
3
ta
ab
，即
1
3
t
b
，故
43 1
4 3
t
 
 
，即
43 1
lg lg
4 3
t
，可得
1(lg3 2lg2) lg3
4t  
，即
4 lg 3 16
2 lg 2 lg 3
t 
．故选：D
6. 【答案】A
【解析】因为
   
cos 40 cos 40 cos 80 0
 
     
，
所以
2cos 40 cos cos80 cos sin 80 sin 0
 
 
，
所以
2 cos 40 cos 80 sin 80 tan 0
   
，
所以
2 cos 40 cos 80
tan sin 80
 
 
 
2cos 120 80 cos80
sin 80
 
 
{#{QQABZQaEogggABAAABgCAQFKCkMQkBCAAKoOxEAIIAAAABNABAA=}#}
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 
2 cos120 cos 80 sin120 sin 80 cos80 3 sin 80 3
sin 80 sin 80
 
     
 
.故选：A．
7. 【答案】D
【解析】由题意易证
PA
平面
ABC
.设底面
ABC
的外心为
G
，外接球的球心为
O
，则
OG
平面
ABC
，
所以
//PA
OG
.设
D
为
PA
的中点，因为
OP OA
，所以
DO PA
.因为
PA
平面
ABC
，
AG
平面
ABC
,所以
PA
AG
，所以
//OD
AG
.因此四边形
ODAG
为平行四边形，所以
11
2
OG AD PA 
.
因为
120BAC  
，
2AB AC 
，所以
2 2 1
2 cos 4 4 2 2 2 2 3
2
BC AB AC AB AC BAC  
  
 
 
,
由正弦定理，得
2 3
2 4 2
3
2
AG AG  
.所以该外接球的半径
R
满足
   
2 2
25R OG AG  
, 故该外接球的表面积为
2
4π 20πS R 
.故选:D.
8. 【答案】B
【解析】因为
 
2
f x x
是奇函数，
 
f x x
是偶函数，
所以
   
 
22
f x x f x x
f x x f x x
 
 
，解得
 
2
f x x x 
，由
   
 
 
, 0,1
2 1 , 1,
f x x
g x g x x
 
，
当
 
1, 2x
时，则
 
1 0,1x 
，所以
 
2 1 2 1g x g x f x  
，
同理：当
 
2,3x
时，
   
2 1 4 2 4 2g x g x g x f x  
，
以此类推，可以得到
 
g x
的图象如下：
由此可得，当
 
4,5x
时，
 
16 4g x f x 
，由
 
3g x
，得
 
16 4 5 3x x  
，解得
17
4
x
或
19
4
x
，又因为对任意的
 
0,x m
，
 
3g x
恒成立，所以
17
04
m 
，所以实数
m
的最大值为
17
4
.故选：B.
9. 【答案】ACD
【解析】A.由频率分布直方图可知得：
0.004a
，故 A 正确；
B.
 
25 0.002 75 0.003 125 0.004 175 0.006 225 0.004 27 5 0.001 50       
150
，故 B 错误；
C.设
80%
百分位数
x
，则
 
50 0.002 50 0.003 50 0.004 50 0.006 200 0.004 0.8x        
，
解得：
212.5x
，故 C 正确；
{#{QQABZQaEogggABAAABgCAQFKCkMQkBCAAKoOxEAIIAAAABNABAA=}#}
第3页 共 10 页
D.销量在
[200,300]
内的销售商为
1
20 5
4
 
家，故 D 正确.故选：ACD
10. 【答案】ABD
【解析】由题意得
2π 4π
sin 0
3 3
f
 
 
 
 
，所以
4π π
3k
 
，
Zk
，即
4π
3k
 
，
Zk
，
又
0 π
 
，所以
2k
时，
2π
3
，故
 
2π
sin 2 3
f x x
 
 
 
 
，
选项 A：当
5π
0, 12
x 
 
 
时，
2π 2π 3π
2 ,
3 3 2
x 
  
 
，可得
 
y f x
在
5
0, 12
 
 
 
上单调递减，正确；
选项 B：当
11
,
12 12
x 
 
 
 
 
时，
2π π 5π
2 ,
3 2 2
x 
  
 
，由于
 
y f x
只有 1 个极值点，由
2π 3π
23 2
x 
，
解得
5
12
x
，即
5
12
x
为函数的唯一极值点，正确；
选项 C，当
7π
6
x
时，
2π
2 3π
3
x 
，
0
7π
6
f
 
 
，故直线
7π
6
x
不是对称轴，错误；
选项 D，由
2π
2cos 2 1
3
y x
 
 
 
 
得所以
2π 2π
2 2 π
3 3
x k  
或
2 2π
2 2 π
3 3
x k
 
，
Zk
，解得
πx k
或
ππ
3
x k 
，
Zk
，所以函数
 
y f x
在点
3
0, 2
 
 
 
 
处的切线斜率为
2π
2cos 0 1
3
k 
 
 
 
，
切线方程为
 
30
2
y x  
即
3
2
y x 
，正确；故选：ABD
11. 【答案】AD
【解析】设
( , 2)P t t
，因为
AB BP
，所以
B
在以
AP
为直径的圆上，又由题意可得，
( 2, 0)A
,所以
AP
中
点为
1, 1
2 2
t t
 
 
 
 
，
2 2
( 2) ( 2) 2 2AP t t t  
，所以以
AP
为直径
的
圆方程为
2
2 2 2 2
1 1
2 2 2
t
t t
x y  
 
     
   
   
，即
2 2 (2 ) ( 2) 2 0x y t x t y t  
，由圆
 
22
: 2 2C x y  
，可得
2 2 4 2 0x y x  
，
两圆的方程相减可得
( 6) ( 2) 2 2 0t x t y t  
，所以方程
2 2 4 2 0
( 6) ( 2) 2 2 0
x y x
t x t y t
 
 
只有一个解，所以圆心
(2,0)
到直线
( 6) ( 2) 2 2 0t x t y t  
的距离
{#{QQABZQaEogggABAAABgCAQFKCkMQkBCAAKoOxEAIIAAAABNABAA=}#}
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